Zill_matematicas_1_manual_de_soluciones
Páginas: 562 (140384 palabras)
Publicado: 26 de octubre de 2015
CÁLCULO DIFERENCIAL (MATEMÁTICAS 1)
UNIDAD 1
LOS NÚMEROS REALES
PROBLEMAS 1.4
1.
Se puede concluir del axioma 8 de los números reales.
O bien, supongamos que
Sean
1
0
a , para algún a
.
y z 0 dos números reales. Entonces x 2
x
y 2 de ambos lados tenemos x2
Restando
Factorizando cada miembro,
y2
( x y)( x y)
xy
y2
xy
y( x y)
Despejando
x
y
y( x y)
x y
y
0
0
y 0
0
1
( y 0)
0
Y como
1
0
a , para algún a , entonces x y a ( y 0) a 0 0
Y como
x
y z 0 , se cumple que 2 x 0 y luego x 0
Lo cual contradice a nuestra suposición x z 0 . De manera que
2.
5
6
3.
21
5.25
4
1
0
existe.
0.8333333... 0.83
4.
14
3
4.66666... 4.6
5.
4
17
0.2352941176470588
6.
11
14
0.78571428
7.
123
1.23
100
8.
32
0.78048
41
9.
1
20
10.
x
0.050.123321123321...
6
10 x 123321.123321123321...
106 x x 123321
999999 x 123321
123321
999999
x
11.
x 3.141615
12.
106 x 3141615
3141615
x
106
13.
x 0.25555...
10 x 2.5555...
100 x
90 x
x
15.
0.121212...
100 x 12.121212...
99 x 12
12
99
x
14.
2.213213
2213213
1000000
25.5555...
23
23
90
x 5.71715
5
x
10 x 571715
571715
x
105
16.
x
0.01444...
2
10 x 1.4444...
103 x 14..4444..
900 x 13
x13
900
17.
x
18.
0.0134134134...
10 x
104 x 13132.313231...
0.134134...
104 x 134.134134...
9990 x 134
x
19.
9999 x 13131
13131
x
99
134
9990
20.
x
0.123123...
1000 x 123.123123...
21.
123
999
x
4.022022022}
103 x
(109 1) x 123456789
123456789
x
999999999
22.
El menor número natural es el 1.
El menor entero positivo es el 1.
4022.0220...
Si fuera racional, entonces0.123456789123...
10 x 123456789.123456789...
No existe un menor racional positivo.
999 x 4018
4018
x
999
23.
x
9
999 x 123
x
x 1.31323132...
No existe un menor irracional positivo.
S
a
b
para algunos
a, b , b z 0 , con
a
b
racional irreducible.
Entonces a S b , y como a y b no tienen factores primos comunes, se sigue que
imposible. En consecuencia S es irracional.
S divide a a , lo cuales
24.
2 es racional, digamos
Supongamos que
p
p
, con
un número racional irreducible.
q
q
2
2q 2 , es decir p 2 es un número par y como p y q no tienen factores comunes entonces 2 divide
a p de modo que p 2n .
Entonces
p2
Se tiene entonces que
p2
(2n)2
Como 2 divide a q , entonces
a2
2n
2m
n
, lo cual es una contradicción al supuesto de que la fracción es irreducible.
m
p
a
a
,con
un número racional irreducible.
b
b
pb2 , de donde p divide a a y por tanto a
Sustituyendo tenemos
Como
q2 .
q 2m .
p es racional, digamos
Supongamos que
Entonces
2q 2 , y luego 2n2
2 es irracional.
Por lo anterior
25.
p
q
2
De esta manera
4n2
a2
px
2
p2 x2
pb2 , luego px 2 b2 .
px 2 b2 entonces p divide a b y por tanto b
Sustituyendo px
2
b2
py
2
px para algún x ,x z p .
p 2 y 2 , luego x 2
py para algún y , y z p .
py 2 .
Esta última igualdad implica que x divide a p lo cual es imposible porque p es primo.
Por lo anterior
26.
Utilizando 6 decimales, tenemos
S | 3.141592 |
27.
28.
p es irracional.
3141592
1000000
392699
.
125000
La suma de dos racionales es otro racional, pues
a
b
c
d
ad bc
bd
La suma de dos irracionales no es otroracional, basta considerar por ejemplo los números irracionales a r
con a
y p un número primo.
Se verifica que (a
p ) (a
p ) 2a
.
p,
29.
Si p y q dos racionales diferentes tales que p q se cumple:
p p q
2p p q
p q q q
p q 2q
p
p q
2
p
Entonces el racional
30.
p q
2
satisface p
Si p es un número irracional, entonces
p q
2
p q
2
q
q
p también es un irracional (delo contario p
a 2
,
b
para algún racional
lo cual es imposible).
Sean p y q dos irracionales tales que p q , aplicando el ejercicio 31 se tiene p
Por lo anterior
pq q .
pq es un irracional.
31.
Como
32.
a) Si x y entonces
x 2 xy , y luego x xy .
b) Si x y entonces
xy y 2 , y luego
y además II
c) Si x y entonces
, se sigue de 29 y 30.
xy y .
x y ....
UNIDAD 1
LOS NÚMEROS REALES
PROBLEMAS 1.4
1.
Se puede concluir del axioma 8 de los números reales.
O bien, supongamos que
Sean
1
0
a , para algún a
.
y z 0 dos números reales. Entonces x 2
x
y 2 de ambos lados tenemos x2
Restando
Factorizando cada miembro,
y2
( x y)( x y)
xy
y2
xy
y( x y)
Despejando
x
y
y( x y)
x y
y
0
0
y 0
0
1
( y 0)
0
Y como
1
0
a , para algún a , entonces x y a ( y 0) a 0 0
Y como
x
y z 0 , se cumple que 2 x 0 y luego x 0
Lo cual contradice a nuestra suposición x z 0 . De manera que
2.
5
6
3.
21
5.25
4
1
0
existe.
0.8333333... 0.83
4.
14
3
4.66666... 4.6
5.
4
17
0.2352941176470588
6.
11
14
0.78571428
7.
123
1.23
100
8.
32
0.78048
41
9.
1
20
10.
x
0.050.123321123321...
6
10 x 123321.123321123321...
106 x x 123321
999999 x 123321
123321
999999
x
11.
x 3.141615
12.
106 x 3141615
3141615
x
106
13.
x 0.25555...
10 x 2.5555...
100 x
90 x
x
15.
0.121212...
100 x 12.121212...
99 x 12
12
99
x
14.
2.213213
2213213
1000000
25.5555...
23
23
90
x 5.71715
5
x
10 x 571715
571715
x
105
16.
x
0.01444...
2
10 x 1.4444...
103 x 14..4444..
900 x 13
x13
900
17.
x
18.
0.0134134134...
10 x
104 x 13132.313231...
0.134134...
104 x 134.134134...
9990 x 134
x
19.
9999 x 13131
13131
x
99
134
9990
20.
x
0.123123...
1000 x 123.123123...
21.
123
999
x
4.022022022}
103 x
(109 1) x 123456789
123456789
x
999999999
22.
El menor número natural es el 1.
El menor entero positivo es el 1.
4022.0220...
Si fuera racional, entonces0.123456789123...
10 x 123456789.123456789...
No existe un menor racional positivo.
999 x 4018
4018
x
999
23.
x
9
999 x 123
x
x 1.31323132...
No existe un menor irracional positivo.
S
a
b
para algunos
a, b , b z 0 , con
a
b
racional irreducible.
Entonces a S b , y como a y b no tienen factores primos comunes, se sigue que
imposible. En consecuencia S es irracional.
S divide a a , lo cuales
24.
2 es racional, digamos
Supongamos que
p
p
, con
un número racional irreducible.
q
q
2
2q 2 , es decir p 2 es un número par y como p y q no tienen factores comunes entonces 2 divide
a p de modo que p 2n .
Entonces
p2
Se tiene entonces que
p2
(2n)2
Como 2 divide a q , entonces
a2
2n
2m
n
, lo cual es una contradicción al supuesto de que la fracción es irreducible.
m
p
a
a
,con
un número racional irreducible.
b
b
pb2 , de donde p divide a a y por tanto a
Sustituyendo tenemos
Como
q2 .
q 2m .
p es racional, digamos
Supongamos que
Entonces
2q 2 , y luego 2n2
2 es irracional.
Por lo anterior
25.
p
q
2
De esta manera
4n2
a2
px
2
p2 x2
pb2 , luego px 2 b2 .
px 2 b2 entonces p divide a b y por tanto b
Sustituyendo px
2
b2
py
2
px para algún x ,x z p .
p 2 y 2 , luego x 2
py para algún y , y z p .
py 2 .
Esta última igualdad implica que x divide a p lo cual es imposible porque p es primo.
Por lo anterior
26.
Utilizando 6 decimales, tenemos
S | 3.141592 |
27.
28.
p es irracional.
3141592
1000000
392699
.
125000
La suma de dos racionales es otro racional, pues
a
b
c
d
ad bc
bd
La suma de dos irracionales no es otroracional, basta considerar por ejemplo los números irracionales a r
con a
y p un número primo.
Se verifica que (a
p ) (a
p ) 2a
.
p,
29.
Si p y q dos racionales diferentes tales que p q se cumple:
p p q
2p p q
p q q q
p q 2q
p
p q
2
p
Entonces el racional
30.
p q
2
satisface p
Si p es un número irracional, entonces
p q
2
p q
2
q
q
p también es un irracional (delo contario p
a 2
,
b
para algún racional
lo cual es imposible).
Sean p y q dos irracionales tales que p q , aplicando el ejercicio 31 se tiene p
Por lo anterior
pq q .
pq es un irracional.
31.
Como
32.
a) Si x y entonces
x 2 xy , y luego x xy .
b) Si x y entonces
xy y 2 , y luego
y además II
c) Si x y entonces
, se sigue de 29 y 30.
xy y .
x y ....
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