M TODOS NUM RICOS 2013 2014

Cálculo. Métodos Numéricos.

MÉTODOS NUMÉRICOS
Teorema de Bolzano:
Sea f : [a, b ] → ℝ una función continua en dicho intervalo y tal que toma valores de
distinto signo en los extremos de dicho intervalo( f (a) ⋅ f (b) < 0 ), entonces existe un
punto x 0 ∈ ( a, b ) tal que f ( x 0 ) = 0 .
Es decir la ecuación f(x)=0 tiene al menos una solución en el interior de dicho intervalo.
1) RESOLUCIÓNNUMÉRICA DE ECUACIONES:
MÉTODO DE LA BISECCIÓN:
Sea f(x) una función continua en un intervalo [ a, b ] . El teorema de Bolzano afirma que si se

cumple que f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 entonces existe al menos una solución de la ecuación f(x)=0 en
dicho intervalo. Se trata de aproximarse a dicha solución.
a+b
Calculamos el punto medio del intervalo x1 =
y posteriormente calculamos f ( x1 ) .
2
De los dosintervalos [ a, x1 ] y [ x1 , b ] tomamos aquel en que la función tome signos distintos en
los extremos, para volver a aplicar de nuevo el método. Así lo aplicaríamos sucesivamente.
b−a
Cota superior de error en el método de la bisección: en ≤ n
2

Ejemplo 1: Resolver la ecuación x = e− x mediante el método de la bisección. Determinar
cuántas bisecciones hemos de realizar para aproximar la solución con3 cifras decimales
exactas.
Primero, si no nos dan el intervalo de partida tenemos que buscar dicho intervalo, para ello
representamos gráficamente las funciones:
Luego la función f ( x) = x − e− x tiene una solución en [ 0,1] ya
que es continua y
f (0) = −1 < 0



f (1) = 1 − e −1 = 0.6321.... > 0 

0 +1
= 0´5
f (0´5) = 0´5 − e −0´5 = −0´10653 < 0
2
1 + 0´5
= 0´75
f (0´75) = 0´2776334 > 0[0´5,1] x2 =
2
0´5 + 0´75
= 0´625
f ( x3 ) = 0´0897385 > 0
[0´5,0´75] x3 =
2
0´5 + 0´625
= 0´5625
f ( x4 ) = −0´0072828 < 0
[0´5,0´625] x4 =
2
0´5625 + 0´625
f ( x5 ) > 0
= 0´59375
[0´5625,0´625] x5 =
2
Y así sucesivamente conforme vamos biseccionando nos vamos acercando a la solución.
b−a
El error que cometemos en la bisección n en ≤ n
2
Para aproximar la solución con tres cifras decimales exactasquiere decir que el error ha de ser
Tomamos x1 =

menor que 10−3

1

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en ≤

b−a
n

=

1
n

< 10−3

⇒

1

2
2
2
Hay que hacer 10 bisecciones.

n

<

1
⇒ 2n > 000 ⇒ n = 10
1000

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON O DE LA TANGENTE:
Sea f(x) una función continua y dos veces diferenciable en [ a, b ] y tal que f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 y
f ´´ tiene signo constante en [ a, b ] , entoncessi x 0 ∈ [ a, b ] es un punto cualquiera en el que se

verifica que f (x 0 ) y f´´(x 0 ) tienen el mismo signo, la sucesión {x n } definida por
xn +1 = xn −

f ( xn )

converge al punto c tal que f (c) = 0
f ´( xn )
Interpretación geométrica:

Tomamos como x0 extremo cuya imagen tenga el mismo signo
que f´´(x). Supongamos que x0=b
Trazando la tangente a la curva en el extremo ( x0 , f ( x0 ) )
y −f ( x0 ) = f ´( x0 ) ( x − x0 ) .
Calculamos el punto de corte de dicha recta con el eje OX:
y − f ( x0 ) = f ´( x0 ) ( x − x0 ) 
f (b)
.
 se obtiene x = b −
f
´(b)
y=0


A este punto le llamamos x1 . Volvemos trazar la tangente en dicho punto ( x1 , f ( x1 ) ) y

calculamos el corte con el eje OX obteniendo x2 = x1 −

f ( x1 )

f ´( x1 )

. Estos puntos cada vez están más

próximos a lasolución de la ecuación f(x)=0.
En general

xn+1 = xn −

f ( xn )

f ´( xn )

{x n } → c

f (c) = 0

Ejemplo 2: Resolver la ecuación x = e− x mediante el método de Newton o de la tangente
aproximando con 6 cifras decimales exactas.
f ( x) = x − e− x
f (0´5) = −0´106530659 < 0
f (0´6) = 0´051188363 > 0
f ´( x) = 1 + e− x > 0 creciente
f ´´( x) = −e− x < 0 convexa
Tomamos

x0 = 0´5

x1 = x0 −

f ( x0)
= 0´566311002
f ´( x0 )

x2 = x1 −

f ( x1 )
= 0´567143165
f ´( x1 )

f ( x2 )
= 0´56714329
f ´( x2 )
Hay que tener en cuenta que cuanto más pequeño tomemos el intervalo inicial más rápido
obtendremos la solución.
x3 = x2 −

2

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Ejemplo 3: Resolver la ecuación x3 − 12 x − 8 = 0 mediante el método de la tangente
aproximando con 4 cifras decimales exactas.
f (0) = −8...