M TODOS NUM RICOS UNIDAD 3

Páginas: 14 (3341 palabras) Publicado: 10 de marzo de 2015
CAPÍTULO

3

SISTEMAS SIMULTÁNEOS DE ECUACIONES
LINEALES Y NO LINEALES
3.1- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Definición. Una ecuación lineal es aquella donde todas las variables o incógnitas están
elevadas a la primera potencia, no aparece ningún término con productos o cocientes
entre incógnitas y no contiene términos con funciones trascendentes.
Tipos de solución. Un sistema de ecuacioneslineales con n incógnitas puede tener tres
tipos de solución:




Solución única (sistema consistente).
Solución múltiple (infinidad de sol., sistema dependiente).
No solución (sistema inconsistente).

Métodos de solución. Se clasifican en algebraicos y numéricos:
Suma y resta
Algebraicos

Igualación
Substitución
Regla de Cramer
Directos

Gauss
Gauss-Jordan

Numéricos

Matriz inversa
JacobiIterativos



Gauss-Seidel

Solamente para sistemas en donde el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones y
que tengan solución única.

Los métodos algebraicos son recomendables para sistemas pequeños (2 ó 3
ecuaciones) mientras que los métodos son más adecuados para sistemas con mayor
número de ecuaciones.

En los métodos DIRECTOS se llega a la solución (generalmente exacta) en un
númerofinito de pasos, mientras que en los ITERATIVOS se utiliza en la técnica
de aproximaciones sucesivas.
Para la mayoría de los sistemas, los métodos iterativos requieren de un mayor
número de cálculos que los empleados en los métodos directos, para llegar a un
grado de precisión preestablecido. Sin embargo, cuando los elementos nulos de la
matriz del sistema se acumulan a lo largo de la diagonalprincipal, siendo los
elementos de la misma los mayores en valor absoluto, los métodos iterativos
pueden compararse favorablemente con los métodos directos. Además, debido a
que los métodos iterativos con un gran número de ecuaciones con las
características antes mencionadas.
Puesto que los métodos directos estudian ampliamente en otras materias,
analizaremos solamente el método iterativo deGauss-Seidel, dado que el de Jacobi
es muy parecido de convergencia más lenta.
3.1.1.- MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
En este método utiliza la misma técnica del método de Aproximaciones Sucesivas,
analizando en el capítulo 2, con la diferencia de que en este caso habrá n
ecuaciones y n incógnitas, en vez de una ecuación y una incógnita.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
a11 x1

+

a12 x2

+

a13 x3+

a14 x4 + …...+ a1n xn

= b1

(1)

a21 x1

+

a22 x2

+

a23 x3

+

a24 x4 + …...+ a2n xn

= b2

(2)

a31 x1

+

a32 x2

+

a33 x3

+

a34 x4 + …... + a1n xn

= b3

(3)

a41 x1

+

a42 x2

+

a43 x3

+

a44 x4 + …... + a1n xn

= b4

(4)

---

---

---

---

---

--

---

---

---

---

---

--

an1 x1

+

an2 x2

an3 x3

+

+

an4 x4 + …... + ann xn

= bn

(n)

Sea la solución inicial:
x1 (0)

,x2 (0) ,

x3 (0)

,

x4(0)

, …...

, xn (0)

Si los elementos de la diagonal no son nulos, se puede despejar a x1 de la ecuación (1),
a x2 de la ecuación (2)…., y así sucesivamente:

x1 = b1 – (a12 x2 (k) + a13 x3 (k) + a14 x4 (k) + ….. + a1n xn (k)
a11
x2 = b2 – (a21 x2 (k) + a23 x3 (k) + a24 x4 (k) + ….. + a2n xn (k)
a22
x3 = b3 – (a12 x2 (k) + a13 x3 (k) + a14 x4 (k) + ….. + a1n xn (k)
a33……………………Etcétera.
Los valores de las nuevas aproximaciones se obtienen substituyendo en los segundos
miembros de estas ecuaciones los valores actuales de cada incógnita. El procedimiento
se repite hasta que convergan los valores para todas las incógnitas con la precisión
requerida.
Así entonces , para una iteración k+1 tendremos:
x1(k+1) = b1 – (a12 x2 (k) + a13 x3 (k) + a14 x4 (k) + ….. + a1n xn (k)a11
x2 (k+1) = b2 – (a21 x2 (k+1) + a23 x3 (k) + a24 x4 (k) + ….. + a2n xn (k)
a22
x3 (k+1) = b3 – (a12 x2 (k+1) + a13 x3 (k) + a14 x4 (k) + ….. + a1n xn (k)
a33
……………………Etc.
Nótese que para cada cálculo se emplean siempre los valores “más recientes” de cada
incógnita. El método de JACOBI utiliza los valores de la iteración anterior para el
cálculo de la siguiente, por lo cual su convergencia...
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