M ximo com n divisor
Páginas: 8 (1993 palabras)
Publicado: 8 de junio de 2015
Máximo común divisor
El m á x i mo co mú n di v i so r, m.c .d . d e do s o m ás n úm e ro s e s el
m ay or n úm e ro qu e d i v id e a to do s ex ac t am e nt e.
Cálculo del máximo común divisor
1. S e d e sco m po ne n l o s n úm e ro s en f ac to r es p ri m os .
2. S e to m a n l os f a cto r es co mu n e s co n m en o r ex po n e nt e.
Ejemplo
Hal l ar el m . c . d . d e : 72 , 10 8 y60 .
1.
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
2.
m. c . d . ( 72 , 108 , 6 0) = 2 2 · 3 = 12
12 e s el ma y o r n ú m e r o qu e di vi de a 72 , 10 8 y 60 .
Si u n n úm e ro e s d i vi s or d e ot ro , e nt o nc e s é st e e s el m. c. d .
El n ú m e r o 12 e s di v i so r d e 36 .
m. c . d . ( 12 , 36) = 12
Mínimo común múltiplo
Es el me n or de to d os mú lt i p lo s c om une s a v a r io s nú m e ro s ,
e xcl u i do el c e r o .
Cálculo del mínimo común múltiplo
1. S e d e sco m po ne n l o s n úm e ro s en f ac to r es p ri m os
2. S e to m a n l os f a cto r es co mu n e s y no c o mu n es co n m a yo r
ex p o ne nt e.
Ejemplo
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c . m. ( 72, 1 08 , 60) = 2 3 · 3 3 · 5 = 1 0 80
2160 e s el m e n o r n úme r o qu e pu ed e s e r di vi di do p o r: 7 2, 1 08 y 60 .
Si u n n ú m e r o e s u n mú l ti pl o de ot r o, en ton c e s e s el m . c . m . d e
amb o s.
El n ú m e r o 36 e s mú l ti pl o d e 12 .
m. c . m. ( 12, 3 6) = 36
Relación entre el m. c. d. y m. c. m.
m. c . d . ( a, b ) · m . c. m . (a , b) = a · b
Ejercicios
Cal cu l ar el m . c . d . y m. c .m . d e:
1 428 y 376
428 = 2 2· 10 7
376 = 2 3 · 47
m. c . d . ( 428 , 37 6) = 2 2 = 4
m. c . m . (42 8, 37 6) = 2 3 · 10 7 · 47 = 4 0 2 32
2 148 y 156
148 = 2 2 · 37
156 = 2 2 · 3 · 1 3
m. c . d . ( 148 , 156) = 2 2 = 4
m. c . m . (14 8 , 156 ) = 2 2 · 3 · 37 · 13 = 57 7 2
3 600 y 1 000
600 = 2 3 · 3 · 5 2
1000 = 2 3 · 5 3
m. c . d . ( 600 , 100 0 ) = 2 3 · 5 2 = 2 0 0
m. c . m . ( 600 , 1 0 00) = 2 3 · 3 · 5 3 =30 00
Cal cu l ar el m . c . d . y m. c .m . d e:
1 104 8, 7 86 y 39 30
1048 = 2 3 · 13 1
786 = 2 · 3 · 131
3930 = 2 · 3 · 5 · 1 31
m. c . d . ( 104 8, 7 86 , 39 30) = 2 · 131 = 2 62
m. c . m . (10 48, 7 86 , 393 0) = 2 3 · 3 · 5 · 131 = 15 72 0
2 312 0, 6 200 y 1 86 4
3210 = 2 4 · 3 · 5 · 1 3
6200 = 2 3 · 5 2 · 31
1864 = 2 3 · 23 3
m. c . d . ( 321 0, 6 20 0, 18 64) = 2 3 = 8
m. c. m . (32 10, 6 20 0, 18 64) = 2 4 · 3 · 5 2 · 13 · 3 1 · 233 =
= 11 2 6 78 80 0
Un fa r o s e en ci en d e c ada 1 2 s egu n d os , ot r o c ada 1 8 s egu n d o s y u n
te r c e r o ca da mi n u to . A l a s 6.3 0 d e l a ta rd e l o s t r e s c oi n ci d e n .
Av e ri gu a l a s v e c es qu e v ol ve r án a c oi n ci di r en l o s ci n c o mi n u to s
si gu i en t es .
12 = 2 2 · 3
18 = 2·3 2
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c . m . (12 , 1 8, 6 0) = 2 2 · 3 2 · 5 = 1 80
180 : 60 = 3
Só lo a l a s 6 .3 3 h .
Un vi aj e r o v a a Ba r c el on a ca da 18 dí as y ot r o cad a 24 dí as . H oy h an
e sta do l o s d o s en B ar c el on a.
¿D en tr o d e cu an t o s dí as v ol v e rán a es ta r l os d o s a l a v e z en
Ba r cel on a ?
18 = 2 · 3 2
24 = 2 3 · 3
m. c . m . (18 , 24) = 2 3 ·3 2 = 7 2
De nt r o d e 7 2 d í a s.
¿Cu ál es el m en o r n ú me r o qu e al di vi di r l o se pa ra dam e n t e p o r 15 , 20 ,
36 y 48 en c ada ca s o da r d e r e st o 9 ?
m. c . m . (15 , 2 0, 3 6, 48) = 2 4 · 3 2 · 5 = 7 20
720 + 9 = 7 2 9
En u n a b od e ga h a y 3 t on el e s d e vi n o , c u ya s c apa ci dad e s s o n : 2 50 l ,
360 l , y 540 l . Su c on t en i d o s e qu i e r een va sa r en ci e rt o n ú me r o d e
ga rr af a s i gu al e s . Ca l cu l ar l as ca pa ci dad e s má xi ma s d e e sta s ga r ra fa s pa r a
qu e en el l as s e pu e den en va sa r el vi n o c on t en i do en c ada u n o d e l os
ton el e s , y el n ú m e r o d e ga r ra fa s qu e s e n ec e si tan .
m. c . d .(25 0, 3 60 , 5 40) = 10
Cap aci dad d e l as g a r ra fa s = 10 l .
Nú m e r o...
El m á x i mo co mú n di v i so r, m.c .d . d e do s o m ás n úm e ro s e s el
m ay or n úm e ro qu e d i v id e a to do s ex ac t am e nt e.
Cálculo del máximo común divisor
1. S e d e sco m po ne n l o s n úm e ro s en f ac to r es p ri m os .
2. S e to m a n l os f a cto r es co mu n e s co n m en o r ex po n e nt e.
Ejemplo
Hal l ar el m . c . d . d e : 72 , 10 8 y60 .
1.
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
2.
m. c . d . ( 72 , 108 , 6 0) = 2 2 · 3 = 12
12 e s el ma y o r n ú m e r o qu e di vi de a 72 , 10 8 y 60 .
Si u n n úm e ro e s d i vi s or d e ot ro , e nt o nc e s é st e e s el m. c. d .
El n ú m e r o 12 e s di v i so r d e 36 .
m. c . d . ( 12 , 36) = 12
Mínimo común múltiplo
Es el me n or de to d os mú lt i p lo s c om une s a v a r io s nú m e ro s ,
e xcl u i do el c e r o .
Cálculo del mínimo común múltiplo
1. S e d e sco m po ne n l o s n úm e ro s en f ac to r es p ri m os
2. S e to m a n l os f a cto r es co mu n e s y no c o mu n es co n m a yo r
ex p o ne nt e.
Ejemplo
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c . m. ( 72, 1 08 , 60) = 2 3 · 3 3 · 5 = 1 0 80
2160 e s el m e n o r n úme r o qu e pu ed e s e r di vi di do p o r: 7 2, 1 08 y 60 .
Si u n n ú m e r o e s u n mú l ti pl o de ot r o, en ton c e s e s el m . c . m . d e
amb o s.
El n ú m e r o 36 e s mú l ti pl o d e 12 .
m. c . m. ( 12, 3 6) = 36
Relación entre el m. c. d. y m. c. m.
m. c . d . ( a, b ) · m . c. m . (a , b) = a · b
Ejercicios
Cal cu l ar el m . c . d . y m. c .m . d e:
1 428 y 376
428 = 2 2· 10 7
376 = 2 3 · 47
m. c . d . ( 428 , 37 6) = 2 2 = 4
m. c . m . (42 8, 37 6) = 2 3 · 10 7 · 47 = 4 0 2 32
2 148 y 156
148 = 2 2 · 37
156 = 2 2 · 3 · 1 3
m. c . d . ( 148 , 156) = 2 2 = 4
m. c . m . (14 8 , 156 ) = 2 2 · 3 · 37 · 13 = 57 7 2
3 600 y 1 000
600 = 2 3 · 3 · 5 2
1000 = 2 3 · 5 3
m. c . d . ( 600 , 100 0 ) = 2 3 · 5 2 = 2 0 0
m. c . m . ( 600 , 1 0 00) = 2 3 · 3 · 5 3 =30 00
Cal cu l ar el m . c . d . y m. c .m . d e:
1 104 8, 7 86 y 39 30
1048 = 2 3 · 13 1
786 = 2 · 3 · 131
3930 = 2 · 3 · 5 · 1 31
m. c . d . ( 104 8, 7 86 , 39 30) = 2 · 131 = 2 62
m. c . m . (10 48, 7 86 , 393 0) = 2 3 · 3 · 5 · 131 = 15 72 0
2 312 0, 6 200 y 1 86 4
3210 = 2 4 · 3 · 5 · 1 3
6200 = 2 3 · 5 2 · 31
1864 = 2 3 · 23 3
m. c . d . ( 321 0, 6 20 0, 18 64) = 2 3 = 8
m. c. m . (32 10, 6 20 0, 18 64) = 2 4 · 3 · 5 2 · 13 · 3 1 · 233 =
= 11 2 6 78 80 0
Un fa r o s e en ci en d e c ada 1 2 s egu n d os , ot r o c ada 1 8 s egu n d o s y u n
te r c e r o ca da mi n u to . A l a s 6.3 0 d e l a ta rd e l o s t r e s c oi n ci d e n .
Av e ri gu a l a s v e c es qu e v ol ve r án a c oi n ci di r en l o s ci n c o mi n u to s
si gu i en t es .
12 = 2 2 · 3
18 = 2·3 2
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c . m . (12 , 1 8, 6 0) = 2 2 · 3 2 · 5 = 1 80
180 : 60 = 3
Só lo a l a s 6 .3 3 h .
Un vi aj e r o v a a Ba r c el on a ca da 18 dí as y ot r o cad a 24 dí as . H oy h an
e sta do l o s d o s en B ar c el on a.
¿D en tr o d e cu an t o s dí as v ol v e rán a es ta r l os d o s a l a v e z en
Ba r cel on a ?
18 = 2 · 3 2
24 = 2 3 · 3
m. c . m . (18 , 24) = 2 3 ·3 2 = 7 2
De nt r o d e 7 2 d í a s.
¿Cu ál es el m en o r n ú me r o qu e al di vi di r l o se pa ra dam e n t e p o r 15 , 20 ,
36 y 48 en c ada ca s o da r d e r e st o 9 ?
m. c . m . (15 , 2 0, 3 6, 48) = 2 4 · 3 2 · 5 = 7 20
720 + 9 = 7 2 9
En u n a b od e ga h a y 3 t on el e s d e vi n o , c u ya s c apa ci dad e s s o n : 2 50 l ,
360 l , y 540 l . Su c on t en i d o s e qu i e r een va sa r en ci e rt o n ú me r o d e
ga rr af a s i gu al e s . Ca l cu l ar l as ca pa ci dad e s má xi ma s d e e sta s ga r ra fa s pa r a
qu e en el l as s e pu e den en va sa r el vi n o c on t en i do en c ada u n o d e l os
ton el e s , y el n ú m e r o d e ga r ra fa s qu e s e n ec e si tan .
m. c . d .(25 0, 3 60 , 5 40) = 10
Cap aci dad d e l as g a r ra fa s = 10 l .
Nú m e r o...
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