M¶etodos Num¶ericos en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Tema 4

M´todos Num´ricos en
e
e
Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
4.1

Introducci´n
o

Estudiaremos en este Tema algunos m´todos num´ricos para resolver problemas de valor
e
e
inicial en ecuaciones diferenciales ordinarias y en sistemas de e.d.o.

4.2

M´todo de Euler
e

El M´todo de Euler o de las Tangentes constituye el primer y m´s sencillo ejemplo de
e
a
m´todonum´rico para la resoluci´n de un problema de valor inicial:
e
e
o
y = f (x, y ) ,

y (x0 ) = y0

donde suponemos adem´s que se verifican las hip´tesis del Teorema de Picard1 , y en
a
o
consecuencia existe soluci´n unica para el problema.
o´
Interpretando la e.d.o. y = f (x, y ) como un campo de direcciones en el plano
x − y y la condici´n inicial y (x0 ) = y0 como un punto (x0 , y0 ) dedicho plano, podemos
o
aproximar la funci´n soluci´n y (x) por medio de la recta tangente a la misma que pasa
o
o
por ese punto:
y (x) ∼ y0 + f (x0 , y0 )(x − x0 )
=
1

Consideraremos en general que la funci´n f (x, y ) es diferenciable en un entorno del punto (x0 , y0 ). Si
o
bien es cierto que se trata de una condici´n m´s restrictiva de lo estrictamente necesario, en la pr´ctica
oa
a
trabajaremos siempre con funciones de ese tipo.

59

60

TEMA 4

donde se ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es: m = y (x0 ) y, en consecuencia: m = f (x0 , y0 ).
Calculamos as´ de manera aproximada el valor de la soluci´n y en el punto de abscisa
ı
o
x1 como:
y (x1 ) ∼ y1 = y0 + f (x0 , y0 )(x1 − x0 )
=
y con este punto (aproximado) ya calculado, podemosrepetir el m´todo para obtener
e
otro punto aproximado (x2 , y2 ) de la forma:
y (x2 ) ∼ y2 = y1 + f (x1 , y1 )(x2 − x1 )
=
y as´ sucesivamente.
ı
Es habitual en este m´todo tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la
e
soluci´n aproximada en puntos de la forma: xn = xn−1 + h = x0 + nh, siendo h el
o
paso del m´todo. De esta forma se obtienen las f´rmulas que nos determinan lasoluci´n
e
o
o
aproximada en la forma:
xn = xn−1 + h;

yn = yn−1 + f (xn−1 , yn−1 ) h

Desde el punto de vista geom´trico, tenemos en definitiva que el M´todo de Euler
e
e
aproxima a la funci´n soluci´n por medio de una l´
o
o
ınea poligonal, la aproximaci´n ser´
o
a
tanto peor cuanto mayor sea en n´mero de pasos, es decir, cuanto m´s “lejos” nos
u
a
encontremos del punto inicial (x0, y0 ). Por otro lado, el error ser´ evidentemente tanto
a
mayor cuanto m´s grande sea el “paso” del m´todo, h.
a
e
Ejemplo: Resolveremos el problema de valor inicial
√
y =x y
y (1) = 4
por el m´todo de Euler con h = 0.1 para los puntos x = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5.
e
√
En este problema tenemos h = 0.1, (x0 , y0 ) = (1, 4) y la funci´n f (x, y ) es: f (x, y ) = x y .
o
Por tanto:
√yn = yn−1 + xn−1 yn−1 h
Dado que el problema se puede resolver tambi´n de forma exacta, presentamos en la tabla y
e
gr´fica siguientes los resultados:
a

i
0
1
2
3
4
5

xi
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

yi
4
4.2
4.42543
4.67787
4.95904
5.27081

Sol. Exacta
4
4.21276
4.45210
4.71976
5.01760
5.34766

5.2
5
4.8
4.6
4.4
4.2
1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

61´
´
METODOS NUMERICOS EN EDO

4.3

M´todos de Taylor
e

El M´todo de Euler que acabamos de describir no es m´s que un caso particular de los
e
a
m´todos de Taylor, que consisten de manera general en aproximar la soluci´n por su
e
o
polinomio de Taylor de un orden determinado. Partiendo por tanto del P.V.I.:
y
= f (x, y )
y (x0 ) = y0
tal que presenta soluci´n unica y (x) en unentorno de x0 (soluci´n que suponemos adem´s
o´
o
a
derivable n veces en dicho entorno), aproximaremos dicha funci´n por su polinomio de
o
Taylor de orden N :
y (x)

1
1
y (N )
y (x0 )+ y (x0 )(x − x0 )+ y (x0 )(x − x0 )2 + y (x0 )(x − x0 )3 + . . . +
(x − x0 )N
2
3!
N!

y el error de aproximaci´n viene determinado por el resto de orden N + 1, de manera
o
que el error es...