Álgebra booleana

Algebra booleana.
El término “algebra booleana” se utiliza para describir una diversidad de temas relacionados, que van desde símbolos lógicos y tablas de verdad hasta la aritmética procesada por redes de relevadores eléctricos o computadoras electrónicas. Este capítulo se inicia con el desarrollo de estructuras abstractas llamadas algebras booleanas, empezando a partir de copos y latises. Elalgebra involucra es una reminiscencia de las tablas de verdad del capítulo. Las funciones de interruptor asociadas con redes electrónicas lógicas dan ejemplos importantes de algebras booleanas y somos capaces de estudiar las redes y sus funciones utilizando las herramientas algebraicas que hemos desarrollado. El capitulo termina con una breve discusión sobre funciones de Karnaugh, una herramientaparecida a los diagramas de Venn, que pueden ser muy útiles para analizar expresiones lógicas relativamente complicadas.
Llamamos a un copo (P, ≤) una latis si todo subconjunto finito tiene mínima cota superior y máxima cota inferior. También introducimos dos operaciones binarias introducimos dos operaciones binarias v y ^ en P donde

Veremos en el teorema 1 que esas operaciones binariassatisfacen las siguientes propiedades:

El teorema 2 nos dira que esas seis propiedades caracterizan a las latises, en el sentido en el que a un conjunto cerrado bajo dos operaciones binarias v y ^ que satisfacen las propiedades puede dársele un orden parcial natural que lo hace una latis. Entonces todo hecho general sobre latises debe ser alguna manera una consecuencia de esas seis propiedades , ysiempre que nos encontremos un conjunto con dos operaciones binarias que satisfagan esas condiciones podemos verlo como una latis y concluir inmediatamente que tiene todas las propiedades generales sobre latises. Uno de nuestros objetivos será entonces determinar que es lo que se puede demostrar utilizando únicamente las seis propiedades enlistadas. Llamaremos latis algebraica a cualquier conjuntoL con dos operaciones binarias v y ^ que satisfagan estas seis propiedades. Algunas veces escribiremos (L, v, ^) para remarcar nuestro interés en las operaciones v y ^. Leemos x v y como “xunion y” y “x intersección y” para x ^ y.
Consideremos una latis (P, <) y definamos x v y = mcs {x, y } y x ^ y = mci {x, y} entonces (P. v, ^) es una latis algebraica.
Demostración. Las leyesconmutativas son claras. Para examinar la propiedad 2 la consideramos x, y, z E P y sean u = (x v y) vz y V= x v (y v z). como y < u y z<u, el elemento u es una cota superior de {y, z}.

Como y v z es la minima cota superior, tenemos que y v z< u.
También x < x v y < u, asi que u es una cota superior, tenemos que y v z< u.
También x< x v y < u, asi que u es una cota superior de{x, y v z}y por lo tanto x v (y v z) < u.
En otras palabras, V < u. Un razonamiento semejante muestra que u < V y de ahí que u = V.
Para examinar la propiedad 3
La, consideraremos x, y E P. como x < < v w para cualquier w, tenemos que x< < v (x ^ y).
Como x < x y x ^ y < x, el elemento x es una cota superior de {x, x ^ y} y por lo tanto x v (x ^ y) < x.Entonces x v (x^ y) = x, como deseábamos.
Las propiedades 2Lb y 3Lb tienen demostraciones semejantes.
Antes de demostrar resultados para latises algebraicas, mencionamos un principio de dualidad. Si consideramos una de las seis propiedades que definen a una latis algebraica, y si reemplazamos cada v por ^ y cada ^ por v obtenemos otra de las propiedades, que llamaremos la propiedad dual. Asi 1La y 1Lbson duales una de la otra, etc de esto se sigue que si un teoema o identidad que se cumple para una latis algebraica, esta seguirá siendo verdadera si la dualizamos, esto es, si reemplazamos cada v por ^ y cada ^ por v.

Proposición.
Sea(L, v, ^) una latis algebraica.
a) Las operaciones v y ^ satisfacen las leyes de idempotencia; x v x = x y x^x = x para toda x E L.
b) Para x, y E L...