Álgebra para olimpiada

Resumen
En este trabajo analizamos el espectro de una isometría
lineal definida entre dos espacios de Banach utilizando propiedades básicas de los operadores de
Fredholm. Hemos tratado que la exposición sea
accesible y que parta de conocimientos elementales sobre
operadores lineales continuos en espacios normados. Para
ello presentamos todos los conceptos y propiedades que se
requieren.Asimismo, desarrollamos varios ejemplos y pruebas.

cuando T es continuo su núcleo N (T ) es un subespacio cerrado,
sin embargo, su rango puede no ser cerrado, como se ilustrará en el
ejemplo 2. Para un operador lineal T : X → Y definimos
T ≡ sup{ T x : x ≤ 1}.

(1)

El siguiente resultado es sencillo de verificar.
Lema 1. Sean X y Y espacios normados y T : X → Y un operador lineal. Lassiguientes propiedades son equivalentes:
i) T es continuo.

1.

Álgebra de operadores lineales
acotados

Nos interesa estudiar operadores lineales continuos T : X → X,
donde X es un espacio de Banach. No obstante, es necesario partir
de un marco más general y considerar operadores lineales continuos
S : X → Y , donde X y Y son espacios normados.
Recordemos que el que X sea un espacionormado significa:
a) X es un espacio vectorial sobre el campo de escalares K, donde
K = R o bien K = C. Cuando K = R, se dice que el espacio es real
y en el otro caso que es complejo.
b) X cuenta con una norma · : X → [0, ∞).
Un espacio normado X es completo, si cualquier sucesión
{xn } ⊂ X de Cauchy es convergente. A un espacio normado completo se le llama espacio de Banach. Si V ⊂ X es unsubespacio (vectorial), al considerarlo como espacio normado lo haremos
tomando en V la norma inducida por la norma en X. Si X es un
espacio de Banach, que V sea completo equivale entonces a que V
sea cerrado.
Dados dos espacios normados X y Y , la colección de todos los
operadores lineales continuos T : X → Y , con las operaciones
usuales de suma y multiplicación por escalares, constituye unespacio vectorial, el cual se representará por L(X, Y ). Como se acostumbra, L(X) ≡ L(X, X). Cada operador lineal T : X → Y tiene asociados dos subespacios básicos, su núcleo N (T ) ≡ {x ∈ X : T x =
0} y su rango R(T ) ≡ {T x : x ∈ X}. Como N (T ) = T −1 (0),
El autor agradece la invitación del Dr. Antonio Rivera F. para escribir este
artículo.

ii) T es acotado, esto es T < ∞.
iii) Si {xn } ⊂ Xes cualquier sucesión tal que xn → 0, entonces
T xn → 0.
La función · definida por (1) resulta ser una norma en L(X, Y ).
Si T ∈ L(X, Y ), notemos que se cumple T x ≤ T x , ∀ x ∈
X. Asimismo, si C > 0 es un número tal que T x ≤ C x , ∀ x ∈
X, entonces T ≤ C, por lo que T es acotado. Cuando Y es completo, el espacio L(X, Y ) también es completo. Es decir, en este caso el espacio de operadoreslineales acotados L(X, Y ) es un espacio
de Banach.
Sea T ∈ L(X, Y ) y supongamos que T es 1-1. Entonces, existe
su operador inverso T −1 : R(T ) → X y es lineal.
Lema 2. Sean X y Y espacios normados y T ∈ L(X, Y ). Las
siguientes propiedades son equivalentes:
i) Existe un número K > 0 tal que
T x ≥ K x , ∀ x ∈ X.

(2)

ii) T es 1-1 y T −1 : R(T ) → X es acotado.
iii) No existesucesión {xn } ⊂ X tal que xn
T xn → 0.

= 1, ∀ n ∈ N y

Demostración i) ⇒ ii) Dado y ∈ R(T ), sea x = T −1 y. Por (2), se
1
cumple K T −1 y ≤ y . Esto implica que T −1 ≤ K . Luego,
−1
T
: R(T ) → X es acotado.
ii) ⇒ iii) Sea {xn } ⊂ X tal que T xn → 0. De (2) se sigue
entonces que xn → 0.
1
iii) ⇒ i) Supongamos que no se cumple i). Sea n ∈ N y K = n .
Entonces existe wn ∈ X tal que n T wn< wn . Tomemos xn =
CARTA INFORMATIVA

1

w
1
, ∀ n ∈ N. Entonces xn = 1 y T xn = Twnn ≤ n . Esto
contradice iii).
Diremos que un operador T ∈ L(X, Y ) es un isomorfismo, si
N (T ) = {0} (T es 1 − 1) y R(T ) = Y (T es sobre). El próximo
resultado constituye uno de los principios del análisis funcional [3,
Thm. 23.2].
wn
wn

Dada una sucesión s = {an } ∈ S, definamos la sucesión...