Problemas matemáticos para olimpiadas

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Problema 1. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedó después de cortar tres veces? 
(a) 2/3 | (b) 4/3 | (c) 4/9 | (d) 8/9 | (e) 8/27 |

Problema 2. Un costal está lleno de canicas de 20 colores distintos. Al azar se van sacando canicas del costal. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que debensacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 canicas del mismo color? 
(a) 1960 | (b) 1977 | (c) 1981 | (d) 1995 | (e) 2001 |

Problema 3. En el rectángulo de la figura, M y N son los puntos medios de AD y BC, respectivamente, y P y Q son las respectivas intersecciones de AC con BM y con ND. Suponiendo que AD mide 5cm y que AB mide 3cm, ¿cuántos centímetros tiene desuperficie el cuadriláteroMPQD? 

(a) 2.75 | (b) 3 | (c) 3.25 | (d) 3.75 | (e) 4 |

Problema 4. A una cantidad le sumo su 10%, y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? 
(a) 98 | (b) 99 | (c) 100 | (d) 101 | (e) 102 |

Problema 5. Dentro del cuadrado de la figura se escriben los números enteros del 1 al 9 (sin repetir). La suma de los4 números alrededor de cada uno de los vértices marcados con flechas tiene que ser 20. Los números 3 y 5 ya han sido escritos. ¿Qué número debe ir en la casilla sombreada? 

(a) 1 | (b) 2 | (c) 4 | (d) 7 | (e) 9 |

Problema 6. Un círculo cuyo radio mide 1 cm está inscrito en un cuadrado, y éste a su vez está inscrito en otro círculo, como se muestra en la figura. ¿Cuántos centímetros mide elradio de éste último círculo? 

(a) 1 | (b | (c)/2 | (d) | (e)/2 |

Problema 7. Con tres rectángulos iguales se formó un rectángulo más grande, como el que se muestra en la figura. Si la longitud BC = 2, ¿Cuál es la longitud de AB? 

(a) 2.5 | (b) 3 | (c) 3.5 | (d) 4 | (e) 4.5 |

Problema 8. La suma de tres números impares consecutivos es igual a 27. ¿Cuál es el número más pequeño deesos tres? 
(a) 11 | (b) 9 | (c) 8 | (d) 7 | (e) 5 |

Problema 9. Cada lado del cuadrado ABCD mide 1 m. ¿Cuál es el área del cuadrado AKPC? 

(a) 1 m2 | (b) 1.5 m2 | (c) 2 m2 | (d) 2.5 m2 | (e) 3 m2 |

Problema 10. Utilizando cada una de las cifras 1, 2, 3 y 4 se pueden escribir diferentes números, por ejemplo, podemos escribir 3241. ¿Cuál es la diferencia entre el más grande y el máspequeño de los números que se construyen así? 
(a) 2203 | (b) 2889 | (c) 3003 | (d) 3087 | (e) 3333 |

Solución 1. 
En cada corte quedan 2/3 de lo que había antes de cortar, así que la respuesta es 2/3 x 2/3 x 2/3 = 8/27. La respuesta es (e). Solución 2. 
Notemos que si sacáramos 20 canicas podría ser que todas fueran de colores distintos, así que sólo podríamos garantizar que hay dos canicas delmismo color si sacáramos 21 canicas. De la misma manera, necesitaríamos 41=20 x 2 + 1 canicas para poder afirmar que con seguridad hay 3 canicas (al menos) del mismo color, pues con 40 canicas podría ser que cada color apareciera exactamente 2 veces. Con el mismo razonamiento que hemos seguido llegamos al resultado: se necesitan 20 x 99 + 1=1981 canicas. La respuesta es (c).
Solución 3. Observemos que si juntamos los triángulos ABM y DNC, éstos formarán un rectángulo de 2.5 x 3, y que el área deMPQD es la mitad del área restante MBND para el rectángulo total, esto es: 5 x 3 - (2.5 x 3/2)=3.75. La respuesta es (d).
Solución 4. 
En el primer paso, por cada 100 tendremos 110, a los cuales habrá que restarles 11 y, por tanto, nos quedaremos con 99. La respuesta es (b).
Solución 5. Junto al 3 y al 5 hay que escribir dos números que sumen 12. Como no puede haber repeticiones, la única posibilidad para esos dos números es 8 y 4 (con dos posibilidades para ponerlos). Ahora, junto al 5 y al 8 hay que escribir números que sumen 20-(5+8)=7. Para evitar repeticiones las únicas posibilidades son 1 y 6. De la misma manera, vecinos al 5 y al 4 debemos escribir 2 y 9. Ahora, una vez que...
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