Álgebra

IES Marxadella
Álgebra

Álgebra
(Matrices y determinantes. Sistemas de
ecuaciones lineales)

1

IES Marxadella
Álgebra

Tema 1: Matrices y determinantes.

1. Definiciones relativas a las matrices.
Una matriz A de m filas y n columnas es una serie ordenada de m x n
números aij, i=1,.....,m y j=1,.....,n dispuestos en filas y columnas de la forma:
⋯
⋱
⋮
o de forma resumida A= (aij)m,n(el primersubíndice indica
⋯
fila y el segundo indica columna).


⋮

Se dice que (ai1, ......, ain) es la fila i-ésima
ésima de la matriz A y análogamente
tendríamos la columna j--ésima
El elemento aij es el situado en la i-ésima
i
fila y la j-ésima
ésima columna y se dice que
ocupa la posición (i,j) en la matriz A.
Ejemplo:

(1 2 3) es la primera fila de A, 0 es el
el elemento (4,2), es decir, el que ocupala 4
fila y 2 columna.
Se llama matriz fila o matriz columna a aquella que solo tiene una
un fila o una
columna.
La dimensión de una matriz de m filas y n columnas será m x n..
Una matriz se dice cuadrada cuando coinciden el número de filas y de
columnas.
Por ejemplo,

Si tiene n filas y n columnas se dirá matriz cuadrada de dimensión n.

2

IES Marxadella
Álgebra

Dos matrices son iguales sitienen la misma dimensión y coinciden
elemento a elemento.
A= (aij)m,n y B= (bij)m,n serán iguales si aij=bij para todo i y para todo j.
Se llama traspuesta de una matriz dada A= (aij)m,n a otra matriz At= (aji)n,m que
se obtiene cambiando en A las filas por las columnas y las columnas por
las filas.
Dada la matriz

su trapuesta será

Se dice que una matriz
riz A es simétrica si verifica que A=At,por tanto será
necesario que A sea una matriz cuadrada.
Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a los elementos de la forma
aii para todo i.
Una matriz cuadrada se dirá triangular superior si los elementos
elementos por debajo de
la diagonal principal son cero e inferior si lo son los que están por encima y
matriz diagonal aquella que es superior e inferior. Por ejemplo:

2. Operacionescon matrices.
•

Suma.

Dadas dos matrices A= (aij)m,n y B=(bij)m,n (misma dimensión) se define la suma
de estas dos matrices como otra matriz de la misma dimensión mxn que se
obtiene sumando los elementos que están en la misma posición de ambas
matrices:
A+B= (aij + bij)m,n.

3

IES Marxadella
Álgebra

Ejemplo:

La suma tiene como propiedades la
la asociativa, conmutativa, elemento neutro yelemento opuesto.
•

Producto por un escalar.

Dada una matriz A= (aij)m,n y un escalar α se define el producto del escalar
por la matriz como una nueva matriz de la misma dimensión mxn que se
obtiene multiplicando por el escalar cada elemento de la matriz:
α · A = (α · aij)m,n. ( daría lo mismo A · α)
Ejemplo:

El producto por un escalar tiene como propiedades la asociativa, conmutativa,
distributivay producto por 1.
•

Producto de matrices.

Dadas dos matrices A= (aij)m,n y B=(bij)n,p (es necesario que el número de
columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la
segunda,, en caso contrario no se podrá multiplicar) se define el producto de A
· B como otra matriz de dimensión mxp que se obtiene como:

A·B= ∑
(se multiplica cada fila de la matriz A por cada columna de
lamatriz B. Para obtener el elemento (i,k) de la matriz producto se multiplica
componente a componente la fila i-ésima
i ésima de A con la columna k-ésima
k
de B,
sumando a continuación
nuación los resultados)
El producto de matrices tiene como propiedades la asociativa y la distributiva
pero no la conmutativa (no es que no de lo mismo sino que incluso no
podríamos hacer B · A), por lo que seráimportante el orden en el caso de la
multiplicación. Esto también influirá cuando se saca factor común por un lado
o por otro.
4

IES Marxadella
Álgebra

Ejemplo:

Otras propiedades interesantes que cabe mencionar serían:
(A·B)t = Bt · At
(α·A)t = α·At
(A+B)t = At + Bt
(At)t = A

3. Matrices cuadradas.
Ya sabemos que las matrices cuadradas son aquellas que tienen igual número
de filas que de columnas,...