Algebra

GOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

UNEFA

NÚCLEO CARABOBO-EXTENSIÓN GUACARA
ASIGNATURA: Álgebra Lineal PROF: Ing. Alexander Zavala

GUÍA DE LECTURA N° 4.

Unidad N° 2

MATRICES Y DETERMINANTES

1. PERMUTACIONES: Una permutacióndel conjunto de enteros [pic] es un arreglo de éstos en algún orden sin omisiones ni repeticiones.
En general, el conjunto [pic] tiene [pic] permutaciones diferentes.

Para denotar una permutación general del conjunto [pic] se escribirá [pic]. Se dice que en una permutación [pic] ocurre una inversión siempre que un entero mayor precede a uno menor. El número total de inversiones queocurren en una permutación puede obtenerse como sigue: (1) encontrar el número de enteros, que son menores que j1 y que están después de j1 en la permutación; (2) encontrar el número de enteros, que son menores que j2 y que están después de j2 en la permutación. Continuar este proceso de conteo para j3,..., jn-1. La suma de estos números es el número total de inversiones que hay en lapermutación.
Ejemplo: Determinar el número de inversiones que hay en las siguientes permutaciones:
a) (6,1,3,4,5,2) b) (2,4,1,3) c) (1,2,3,4)
Solución:
a) N° de inversiones= 5+0+1+1+1=8
b) N° de inversiones= 1+2+0=3
c) N° de inversiones= 0+0+0=0

DEFINICIÓN: Se dice que una permutación es par si el número total de inversiones es un entero par, y es impar si el número totalde inversiones es un entero impar.

2. DEFINICIÓN DE DETERMINANTES.
1. Producto Elemental: Por producto elemental de una matriz Anxn se entiende cualquier producto de n elementos de A, de los cuales ningún par de elementos proviene del mismo renglón (o fila) o de la misma columna.
Ejemplo: Enumerar los productos elementales de las matrices:
a) [pic] b)[pic]
Solución de a): Cada producto elemental tiene dos factores: a1_a2_
Como ninguna pareja de factores proviene de la misma columna, entonces las columnas no se repiten: [pic] permutaciones. Así los productos elementales son: [pic] y [pic].
Solución de b): Cada producto elemental tiene tres factores: a1_a2_a3_
Como ninguna pareja defactores proviene de la misma columna, entonces las columnas no se repiten: [pic] permutaciones para las listas de productos elementales:
[pic] [pic]

Una matriz Anxn tiene n! productos elementales. Son los productos de la forma [pic], donde [pic] es una permutación del conjunto [pic].
Por un producto elemental con signo de A, se entenderá un productoelemental [pic] multiplicado por +1 o por -1.
Si [pic] es una permutación par, se usa el signo positivo, y si [pic] es una permutación impar, se usa el signo negativo.

Ejemplo: Enumerar los productos elementales con signo de las matrices:
a) [pic] b) [pic]
Solución de a):
|Prod. Elemental |Permutación|Par o impar |Prod. Elem. con signo |
|[pic] |(1,2) |Par |[pic] |
|[pic] |(2,1) |Impar |[pic] |Solución de b):
|Prod. Elemental |Permutación |Par o impar |Prod. Elem. con signo |
|[pic] |(1,2,3) |Par |[pic] |
|[pic] |(2,1,3)...