Área Bajo la Curva

En el gran premio de F1 de España en 2008, los autos de Fernando Alonso y Kimi Raikkonen están uno al lado del otro al inicio de la carrera, la velocidad del auto conducido por Kimi Raikkonen se denota por (Vr) mientras que la velocidad el auto conducido por Fernando Alonso se denota por (Va). En la siguiente tabla se observan las velocidades de cada vehículo durante los primeros 10 segundos.¿cuántos metros aventaja el auto de Fernando Alonso al de Kimi Raikkonen después de 10 segundos?
Para poder resolver éste problema, necesitamos conocer:
1) La fórmula de la velocidad
2) La fórmula de la distancia
3) ¿La velocidad cambia si la expresión está dada en km/h o m/s?
4) Cómo se representa en un plano el tiempo y la velocidad?
5) Menciona algunas figuras geométricas que expresen área6) ¿Cuál es la fórmula de cada una de ellas?
7) ¿Habrá una herramienta matemática que solucione el problema?
8) ¿El resultado obtenido es exacto?
9) Iremos contestando éstas preguntas poco a poco.
10) 1) La fórmula de la velocidad es v = d/t, su unidad de medida principal es m/s.
11) 2) Despejando la distancia de la fórmula de la velocidad encontramos que d = (v)(t)
12) 3) Si convertimosla velocidad de km/h a m/s, no cambia la velocidad, lo que cambia es la expresión y la magnitud.
13) 4) El tiempo se representa en el eje de las abscisas y la velocidad en el eje de las ordenadas.
14) 5) Algunas figuras geométricas que expresen área pueden ser: círculo, triángulo, rectángulo, cuadrado, trapecio, etc.
15) 6) La fórmula de cada una de las figuras anteriores es: πr2, b(h)/2; b(h);l(l); (B+b)(h)/2; respectivamente.
16) Las dos últimas las dejaremos para después.
Lo primero que necesitamos hacer es: convertir las velocidades de km/h a m/s
Para convertir se hace así:
30km 1000 m 1 h = 30000 m
h 1 km 3600 s 3600 s
= 8.3 m/s
Lo mismo se hace en los demás casos.

v (km/h)

v (m/s)

T(S)
Kimi R
Fernando A.
Kimi R
Fernando A
0
00
0
0
1
30
33
8,3
9,2
2
48
58
13,3
16,1
3
57
78
15,8
21,7
4
69
92
19,2
25,6
5
81
106
22,5
29,4
6
93
120
25,8
33,3
7
104
129
28,9
35,8
8
111
140
30,8
38,9
9
121
147
33,6
40,8
10
129
153
35,8
42,5

Grafiquemos por separado el tiempo vs la velocidad de cada uno de ellos.



¿Qué relación tiene el área bajo la curva con respecto a la distanciade ventaja de los corredores?
Si nos regresamos a la pregunta #2 y la relacionamos con la respuesta de la pregunta #6, notaremos que el área de un rectángulo es semejante en cuanto a la forma de representarlo. Observa:
d = v(t) A = b(h)
Esto nos lleva a concluir que si conocemos el área bajo la curva, entonces podremos conocer la distancia que recorrió cada unode ellos.
Pero, ¿Cómo calcular el área bajo la curva, sino es una figura regular?
No te preocupes, no es difícil, lo que tenemos que hacer es dividir el área bajo la curva con figuras geométricas que conoscas.
¿Cuál crees que sea la figura geométrica más adecuada para cubrir el área?
si usamos el círculo nos quedarían muchos espacios vacíos.
Si utilizamos el triángulo nos complicaríamos conla ley de los senos y los cosenos en los lugares donde no se pueda aplicar el triángulo rectángulo.
Correcto, el más sencillo para trabajar es el rectángulo.
Observa:

Ahora, calcula el área de cada uno de los rectángulos.
Recuerda:
Área = b(h) pero la base es el tiempo y la altura es la velocidad, =>
A= t(v) = distancia.

Área
Cálculo
unidades
1
8,3
m
2
13,3
m
3
15,8
m
419,2
m
5
22,5
m
6
25,8
m
7
28,9
m
8
30,8
m
9
33,6
m
Total
198,3
m

¿Éste resultado es exacto? Justifica.
No, porque la distancia recorrida por Kimi R. es TODA el área bajo la curva y faltan espacios.

Se hace lo mismo que hicimos que con Kimi Raikkonen.
Área
Cálculo
unidades
1
9,2
m
2
16,1
m
3
21,7
m
4
25,6
m
5
29,4
m
6
33,3
m
7
35,8
m
8
38,9...