Çseñoñr

ema 10: Medidas de posici¶on y dispersi¶on
Una vez agrupados los datos en distribuciones de frecuencias, se calculan unos
valores que sintetizan la informaci¶on. Estudiaremos dos grandes secciones:
Medidas de tendencia central o de posici¶on: situaci¶on de los valores alrede-
dor de los cu¶ales °uct¶uan los dem¶as.
Medidas de dispersi¶on: grado de desviaci¶on de los datos respecto de lasmedi-
das de tendencia central.
Acabaremos este resumen con el proceso de tipi¯caci¶on de una variable aleatoria.
1. Medidas de tendencia central
Estudiaremos la media aritm¶etica, la mediana y la moda.
1.1. Media aritm¶etica
Se suele representar por ¹x; aunque tambi¶en por ¹ e incluso abusando de la notaci¶on
probabilista EX (esperanza de la variable X). Es el valor de tendencia central demayor inter¶es.
Caso discreto
Sea X una variable discreta que toma los valores x1; x2; ¢ ¢ ¢; xk con frecuencias
absolutas n1; n2; ¢ ¢ ¢; nk resp. La media aritm¶etica de X viene dada por
¹x =
Pk
i=1
xini
N
=
Xk
i=1
xifi:
Ejemplo. Cali¯caciones de 20 alumnos en Matem¶aticas:
xi ni Ni Pi
2 3 3 15
4 6 9 45
5 5 14 70
6 3 17 85
8 1 18 90
10 2 20 100
La nota media es ¹x =2¢3+4¢6+5¢5+6¢3+8¢1+10¢2
20 = 5005:
1
Propiedades
1) La suma de todas las desviaciones a la media es cero:
Pk
i=1
(xi ¡ ¹x)ni = 0:
2) Si X toma los valores x1; x2; : : : ; xk; e Y los valores yi = xi + c; i = 1; 2; : : : ; k;
c 2 R; entonces ¹y = ¹x + c:
3) Si X toma los valores x1; x2; : : : ; xk; e Y los valores yi = cxi; i = 1; 2; : : : ; k;
c 2 R; entonces ¹y = c¹x:
Aplicaci¶on: si X toma losvalores x1; x2; : : : ; xk; y Z los valores zi = xi¡c
d ; i =
1; 2; : : : ; k; con c; d 2 R; d 6= 0; entonces ¹z = ¹x¡c
d ; lo cual facilita a veces los c¶alculos
cambiando de variable. Por ejemplo, se quiere calcular el di¶ametro medio de 100
¶embolos cuyas medidas en mm son:
(xi) 15307 15308 15309 15400 15401 15402 15403
ni 10 15 19 21 14 13 8
De¯nimos Z = X¡154
001 cuya distribuci¶on defrecuencias es
Di¶ametro (zi) ¡3 ¡2 ¡1 0 1 2 3
ni 10 15 19 21 14 13 8
La media de Z es ¹z = ¡0015; luego ¹x = 001¹z + 154 = 1530985:
Caso continuo
Si la variable aleatoria es continua, para simpli¯car se calcular¶a la media ar-
itm¶etica de una variable discreta cuyos valores son las marcas de clase de cada uno
de los intervalos y las frecuencias absolutas las de cada clase. Con ello sepierde
precisi¶on, porque s¶olo se tendr¶a en cuenta el n¶umero de valores que est¶a dentro de
un intervalo de clase pero no la forma en la que est¶an repartidos.
Ventajas de la media aritm¶etica:
- Contiene toda la informaci¶on de los datos de la distribuci¶on, por lo que es rep-
resentativa.
- Siempre puede ser determinada, es f¶acil de calcular y admite operaciones ar-
itm¶eticas.Desventaja: presenta una gran sensibilidad a valores extremos.
2
1.2. Percentiles. Caso particular: la mediana
Se suponen los valores de la variable ordenados en orden creciente. Si n 2 N; con
1 · n · 100; el percentil de rango n es el valor de la variable estad¶³stica que
deja por debajo de ¶el al n% de los valores y al resto por encima. La mediana es el
percentil de rango 50 (divide a la muestraen dos partes iguales; al menos la mitad
de la muestra cumple estar por debajo del valor destacado).
Estudiaremos el valor de la variable correspondiente a un percentil dado; y dado
un valor de la variable calcularemos el percentil correspondiente.
Caso discreto
Se realiza en primer lugar la tabla de frecuencias porcentuales acumuladas (f.p.a.).
a) Si el porcentaje n no ¯gura en la columnade f.p.a. se toma como percentil de
rango n el primer valor de la variable cuya f.p.a. sobrepasa a n:
b) Si el porcentaje n coincide con la f.p.a. de alg¶un valor xi; se toma como per-
centil de rango n el valor xi+xi+1
2 :
Ejemplo. Consideramos de nuevo la tabla dada en la p¶agina ?? sobre las cali¯ca-
ciones de 20 alumnos en Matem¶aticas.
La mediana es 5, el percentil de rango 84 es...