índice de refracción en prismas dispersos

Deducción de la fórmula para calcular el índice de refracción en prismas dispersos.

De la figura 1 se aprecia que
δ = (θi1 − θt1 ) + (θt2 − θi2 ) … … … . (1)

Figura 1.

Por otra parte, yaque α es el complemento del ángulo BCD, se cumple que
α = θt1 + θi2 … … … . (2)
sustituyendo (2) en (1)
δ = θi1 + θt2 − α … … … . (3)
Ahora, para escribir δ sólo en términos conocidos de θi1 y α, siel índice del prisma es n y esta
sumergido en aire (n≈1), de ley de Snell:
na ∙ senθt2 = n ∙ senθi2
θt2 = angsen(n ∙ senθi2 ) = angsen[n ∙ sen(α − θt1 )]
Usando 𝑠𝑒𝑛(𝐴 − 𝐵) = 𝑠𝑒𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵θt2 = angsen(n ∙ senα ∙ cosθt1 − n ∙ cosα ∙ senθt1 )
Aplicando la propiedad n ∙ cosθt1 = (n2 − n2 ∙ sen2 θt1 )1/2
y ley de Snell, n2 ∙ sen2 θt1 = sen2 θi1 en la ecuación anterior:

1

θt2 =angsen [(senα)(n2 − sen2 θi1 )2 − senθi1 ∙ cosα] … … … . (4)
Sustituyendo (4) en (3)
1

δ = θi1 + angsen [(senα)(n2 − sen2 θi1 )2 − senθi1 ∙ cosα] − α … … … . (5)
Se ve que δ aumenta solo conn(relacionado con la frecuencia), por lo tanto δ es función de λ.
Si n y α son fijas (haz monocromático), δ es función solo de θi1 . Graficando δ v.s. θi1 , se puede
encontrar la desviación mínima “δm "(figura 2).

Figura 2.

Para obtener δm , derivando (3) con respecto de θi1
dδ
dθt2
=1+
=0
dθi1
dθi1
dθt2
= −1 … … … . (6)
dθi1
Calculando la derivada de la ley de Snell en cada interfaz,se obtiene
cosθi1 ∙ dθi1 = n ∙ cost1 ∙ dθt1 … … … . (7)
Y
cosθt2 ∙ dθt2 = n ∙ cosi2 ∙ dθi2 … … … . (8)
Derivando (2)

0 = dθt1 + dθi2
dθt1 = −dθi2 … … … . (9)
Dividiendo 7 y 8, y sustituyendoen 6 y 9
cosθi1 cosθt1
=
… … … . (10)
cosθt2 cosθi2
Usando nuevamente la ley de Snell, n2 ∙ sen2 θt1 = sen2 θi1
Sustituyendo la ecuación anterior en (10) y reescribiendo
1 − sen2 θi1 n2 − sen2θi1
=
1 − sen2 θt2 n2 − sen2 θt2
El valor de θi1 para el que se cumple lo anterior es aquel que

𝑑𝛿
𝑑θi1

= 0, y como n≠1 entonces

𝜃 𝑖1 = 𝜃 𝑡2 … … … . (11)
𝜃 𝑡1 = 𝜃 𝑖2 … … … . (12)...