002 MAS PENDULO_SIMPLE AMORTIGUADO

INGENIERIA CIVIL - III

FÍSICA APLICADA

Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Si apartamos una masa “m” unida a un muelle, de su punto de equilibrio y luego esta es soltada, el muelle provoca en la masa
“m” oscilaciones periódicas, tal movimiento, despreciando las fricciones, es uno de los tantos ejemplos de Movimiento
Armónico Simple (M.A.S.)
P.E.
x

F  Kx

K

m

x
ELEMENTOS DEL M.A.S.:
a)Elongación “x”: Es el alejamiento de “m” medido desde el punto de equilibrio (P.E.).
 “x” es positivo cuando “m” se ubica a la derecha del P.E.
 “x” es negativo cuando “m” se ubica a la izquierda de P.E.
 Cuando “m” pasa por el punto de equilibrio, x  0 .
b) Amplitud (A): Es la máxima elongación, sucede cuando la masa “m” se ubica en los extremos del M.A.S.

Vt

Nota: En cada ubicación del M.A.S.la masa “m” dispone de velocidad y aceleración.

B

MCU
ac

A.
CINEMÁTICA DEL M.A.S.
Las leyes cinemáticas que gobiernan el M.A.S. pueden deducirse proyectando el
Movimiento Circuferencial Uniforme (M.C.U.) sobre uno de los diámetros de la
circunferencia.
Para proyectar las posiciones del M.C.U. sobre el diámetro horizontal debe fijarse el
inicio de las proyecciones definido por la fase inicial“”, la proyección bajo el ángulo
“” representa el inicio del M.A.S. sobre el diámetro horizontal.

A




R
O

Luego de un tiempo “t” de haber partido de “A” el móvil llegará a “B” recorriendo el
ángulo   t , en “B” el móvil tendrá posición, velocidad y aceleración las que deberán
proyectarse sobre el diámetro para hallar la posición (x), velocidad (V) y aceleración (a)
del M.A.S.

M.A.S.

Observeque la máxima elongación del M.A.S. es “R”, luego se establece que: A  R

K

1. ELONGACIÓN EN EL M.A.S. (x)
Se deduce proyectando el radio “R” del MCU sobre el diámetro horizontal H.
 Proyección sobre la horizontal (H)
x  R cos(  )
R  A y   t

Pero:


V
a

m

x

B
R

Luego: x  Acos(t  ) … (1)

A





En donde:

H

x

: elongación
: amplitud
A

: frecuencia angular ocircunferencial
: tiempo (transcurrido desde el inicio)
t

: fase final
(t  ) : fase
Nota: En el M.C.U. “” se denomina velocidad angular.
x

P.E.

x

K

m

2. VELOCIDAD EN EL M.A.S. ( V ): Es la proyección de la velocidad tangencial ( Vt ) del M.C.U. sobre la horizontal (H).
Vt

Luego:


V   Vt sen(  )

El signo (–) se debe a que V apunta hacia atrás.
Del MCU:

V

Vt  R

B



H

O

  t
RA

v  A sen (t  ) … (2)
V
K

m

1

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FÍSICA APLICADA

3. ACELERACIÓN EN EL M.A.S. ( a ): Es la proyección de la aceleración centrípeta (aC) del M.C.U. sobre la horizontal
(H).
a  a c cos(  )
a



Del MCU:

B


ac

El signo (–) se debe a que a apunta hacia atrás:
2

ac   R



  t
RA

H

O

2
 a   A cos(t  ) … (3)

a


Con las ecuaciones (1), (2) y(3) se deducen 2 ecuaciones más:
x2

De (1):

A

2

 c os (t  ) 

Donde: s en(t  )  
Reemplazando en (2):


K

2

x

2

A

2

m

2

 1  s en (t  )

A2  x 2
A

V   A  


2
2 
A x 

A


V    A2  x 2

… (4)

El signo de “V” dependerá de su respectivo sentido.

De la ecuación (3):
Pero se sabe que:

2

a   Acos(t  )
x  Acos(t  )

a   2 x

Luego:

… (5)4. Discusión de las fórmulas (4) y (5):
a)

2

Velocidad: V    A  x

2

… (4)

 La velocidad (v) es máxima en el punto de equilibrio (x = 0)

v max   A

 La mínima velocidad se presenta en los extremos del M.A.S. (x = A)
b)

V0

2

Aceleración: a   x … (5)
 La aceleración es máxima en los extremos del M.A.S. (x = A)
 La aceleración es mínima en el punto de equilibrio (x = 0)

2

amax   A
a min  0

PERIODO DE UN M.A.S. (Masa–Resorte):
Existen muchos movimientos armónicos, el más representativo es el de una masa (m) sujeta a un muelle o resorte de constante
de rigidez (k).
P.E.
x
K

m

x
El diagrama muestra un muelle estirado, luego el resorte jala a la masa “m” al punto de equilibrio produciendo una aceleración
“a”.
N
a
F  Kx
mg
La fuerza resultante en forma...