02 Modelos ARMA

ECONOMETR´IA II:
ECONOMETR´IA DE SERIES TEMPORALES

Modelos ARMA

• Definici´
on: Ruido blanco. Se dice que el proceso { t } es ruido
blanco (”white noise”) si:

Para todo i = j :
• Notaci´on:

t

Var ( t )
Cov ( i j )

E( t)
E ( 2t )
E( i j)

=
=

=
=
=

0
σ2
0

∼ WN

• Ruido blanco Gaussiano: Para todo t,
2
t ∼ WN(0, σ )

t

∼ N(0, σ 2 ). Notaci´on:

• Definici´
on: Modelo ARMA. Un modeloautoregresivo-media
m´
ovil (”autoregressive moving average”—ARMA) tiene la forma:
p

yt = φ0 +

q

φi yt−i +
i=1

θj

t−j ,

j=0

donde el proceso { t } es ruido blanco.
Este modelo se denota como ARMA(p, q), y normalmente se
normaliza θ0 a 1.
Nota: Suponemos que todas las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro
del c´ırculo de unidad. Si una o varias ra´ıces caracter´ısticas estan
encima o fuera delcirculo de unidad, el modelo se llama
autoregresivo-integrado-media m´ovil (”autoregressive integrated
moving average”—ARIMA(p, d, q), donde d es el orden de
integraci´on)

Ejemplos de modelos ARMA:
ARMA(0,0):

yt = φ0 +

t

ARMA(0,1):

yt = φ0 +

t

ARMA(1,0):

yt = φ0 + φ1 yt−1 +

ARMA(1,0)
(paseo
:
aleatorio)

yt = yt−1 +

ARMA(1,1):

yt = φ0 + φ1 yt−1 +

+ θ1

t−1
t

t

t

+ θ1

t−1Ejemplos de modelos ARMA (cont.):
• Modelos ARMA(p,0) con θ0 = 1:
p

yt = φ0 +

φi yt−i +
i=1

tambi´en se denotan modelos AR(p).
• Modelos ARMA(0,q):
q

yt = φ0 +

θj
j=0

tambi´en se denotan modelos MA(q)

t−j

t

Modelos MA(q):
• MA(1): yt = φ0 +

t

+ θ1

t−1 ,

donde { t } es ruido blanco

⇒ µ = E (yt ) = φ0
⇒ γ0 = Var (yt ) = (1 + θ12 )σ 2
θ1 σ 2 para k = 1
0 para k > 1

⇒ γk = Cov (yt , yt−k )=

• Es el modelo MA(1) estacionario? Si
• Qu´e es Corr (yt , yt−k )?
→ ρk = Corr (yt , yt−k ) =

γk
γ0

Modelos MA(q) (cont.):
• MA(q): yt = φ0 +
donde θ0 = 1

q
j=0 θq t−q ,

donde { t } es ruido blanco y

⇒ µ = φ0
⇒ γ0 = (1 + θ12 + · · · + θq2 )σ 2
⇒ γk =

(θk + θk+1 θ1 + · · · + θq θq−1 )σ 2 para k = 1, . . . , q
0 para k > q

• Es el modelo MA(q) estacionario? Si
• Qu´e es Corr (yt , yt−k )?→ ρk =

γk
γ0

Modelos MA(q) (cont.):
• MA(∞): yt = φ0 +
donde ψ0 = 1

∞
j=0 ψj t−j ,

donde { t } es ruido blanco y

• Notaci´on: MA(∞)
• Como podemos saber si MA(∞) es un proceso estacionario y
bien definido? Una de las condiciones siguientes es suficiente:
a)

∞
2
j=0 ψj

<∞

⇑
b)

∞
j=0 |ψj |

<∞

Modelos MA(q) (cont.):
• Entonces, por el MA(∞) tenemos que:
⇒ µ = φ0
⇒ γ0 = limT →∞ (ψ02 + ψ12 +· · · + ψT2 )σ 2
⇒ γk = σ 2 (ψk ψ0 + ψk+1 ψ1 + ψk+2 ψ2 + · · · )

Modelos AR(p):
• AR(1): yt = φ0 + φ1 yt−1 +

t,

donde { t } es ruido blanco

• Es el modelo AR(1) estacionario (”estable”)?
→ Si |φ1 | < 1 ⇒ si
→ Si |φ1 | ≥ 1 ⇒ no
• Por qu´e |φ1 | < 1 ⇒ AR(1) estacionario?

Modelos AR(p) (cont.):
• Porque eso implica que el modelo AR(1) se puede escribir como
un modelo MA(∞):
yt

=

φ0 + φ1yt−1 +

=

φ0 + φ1 (φ0 + φ1 yt−2 +

=

φ0 + φ1 [φ0 + φ1 (φ0 + φ1 yt−3 +
+ t−1 ] + t

..
.
=

(φ0 +

=

φ0 ·

=

φ0
1−φ1

=

t)

+ φ1 (φ0 +

∞
i
i=0 φ1

+

t

MA(∞)

t

+

+ φ1

t

t−1 )

+ φ1

t−1

t−1 )

t
t−2 )

+ φ21 (φ0 +

t−1

+ φ21

+

+ φ21

t−2

t−2

+ φ31

t−2 )

+ φ31

t−3

+ ···
t−3

+ ···

+ ···

Modelos AR(p) (cont.):
• Recuerda: ∞
j=0 |ψj | < ∞ ⇒ MA(q) estacionario, y en nuestro
caso(dado que |φ1 | < 1) tenemos
∞
j=0 |ψj |

=

j
∞
j=0 |φ1 |

<∞

• De todo esto se deduce (cuando |φ1 | < 1):
µ=

φ0
1−φ1

γ0 =

σ2
(1−φ21 )

γk =

φk1
σ2
1−φ21

ρk =

γk
γ0

= φk1

Modelos AR(p) (cont.):
• El modelo AR(2) se define como:
yt = φ0 + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 +

t

(1)

• Aplicando el operador de retardo el AR(2) se puede escribir como
(1 − φ1 L − φ2 L2 )yt = φ0 +

t

y (1) es estacionario silas p ra´ıces caracter´ısticas λ1 y λ2 est´an
dentro del c´ırculo de unidad (es decir, |λ1 |, |λ2 | < 1)
• C´
omo calculamos las 2 ra´ıces caracter´ısticas λ1 , λ2 de un AR(2)?
(1 − φ1 z − φ2 z 2 ) = 0
donde λ =

1
z

⇔

(λ2 − φ1 λ − φ2 ) = 0

Modelos AR(p) (cont.):
• Nota: A veces se utiliza una terminolog´ıa diferente que puede
confundir:
ra´ıces del polinomo 1 − φ1 z − φ2 z 2 est´a fuera...