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Sistemas de ecuaciones
lineales

Al buscar la palabra “lineal” en el diccionario, se encuentra, entre otras definiciones,
la siguiente: lineal (del lat. Linealis). 1. Adj. Perteneciente o relativo a la línea. Sin
embargo, en matemáticas la palabra lineal tiene un significado mucho más amplio.
Una gran parte de la teoría de álgebra lineal elemental es, de hecho, una
generalización de laspropiedades de la línea recta.
Hechos fundamentales sobre las líneas rectas:
I) La Pendiente
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de
un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.

Definición de la pendiente
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano), suele ser representada por la letra m, y es definidacomo el cambio o
diferencia en el eje y dividida por el respectivo cambio en el eje x, entre 2 puntos de la recta.
En la siguiente ecuación se describe:

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un
cambio o diferencia.)

Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en x es x2 − x1, mientras que el
cambio en y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidadesen la
ecuación descrita anteriormente obtenemos:

i)

Si x2 – x1 = 0 y y2 ≠ y1 entonces la recta es vertical y se dice que la
pendiente es indefinida (otros autores la llaman infinita)

ii) Cualquier recta (a excepción de aquella que tiene pendiente indefinida)
se puede describir al escribir su ecuación en la forma pendiente-ordenada
y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es laordenada,
(el valor de y en el punto en que la recta cruza el eje y)

iii) Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

iv) Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by = c (b ≠ 0)

entonces se puede calcular fácilmente, m = -a/b
v) Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 es la pendiente de la recta
L2, m1 ≠ 0 y L1 y L2 son perpendiculares, entonces m2 =-1/m1
vi) Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente cero.
vii) Las rectas paralelas al eje y tienen una pendiente indefinida.

Dos Ecuaciones Lineales con dos incógnitas
Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas x y y:

a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
(1)
Donde a11 , a12 , a21 , a22 , b1 y b2 son números dados.
Cada una de estas ecuaciones correspondea una línea recta.
Una solución al sistema (1) es un par de números, denotados por
(x,y) que satisface (1).
¿Tiene este sistema varias soluciones?
y de ser así, ¿Cuántas?

Hecho A
Si

a=b y c=d

entonces
Hecho B
Si

a+c= b+d
a = b y c es cualquier número real,

entonces

ca = cb

El Hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una
tercera ecuación correcta.
El Hecho B estableceque si se multiplican ambos lados de una ecuación
por una constante se obtiene una segunda ecuación válida.
Se debe suponer que c ≠ 0 ya que aunque la ecuación 0 = 0 es

correcta,
no es muy útil.

Sistema con una solución única
Si consideramos el sistema:

x–y=7
x+y=5
(2)
Si se suman las dos ecuaciones, se tiene, por el hecho A, la
siguiente ecuación :
2x = 12
es decir,

x=6

Entonces si se despejade la segunda ecuación:
y=5–x
y = 5 – 6 = -1
Así, el par (6, -1) satisface el sistema (2) y la forma en que se
encontró la solución muestra que es el único par de números que lo
hace.
Es decir, el sistema (2) tiene una solución única.

La recta y = 0.5x + 2 y la recta y = -x +5 se cruzan en un solo punto y su
solución es única.

Sistema con un número infinito de soluciones
Consideremos ahora elsistema:
x–y=7
2x – 2y = 14
(3)
Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes.
Esto es, cualesquiera dos números, x y y, que satisfacen la primera ecuación,
también satisfacen la segunda y viceversa.
Para comprobar esto se multiplica la primera ecuación por 2. Esto está
permitido por el Hecho B. Entonces:
x–y=7
y=x–7
Así el par (x, x-7) es una solución al sistema (3) para cualquier...