Sistemas De Ecuaciones Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En este c´pitulo estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales tanto
a
homog´neos, como no-homog´neos, no se demostrar´ ning´n teorema ni se
e
e
a
u
le pedir´ al lector hacerlo. Al final del cap´
a
ıtulo aplicaremos los temas estudiados, por lo que este tema le puede parecer atractivo al lector.

0.1.

Sistemas de ecuaciones lineales

Definici´n0.1.1 Una ecuaci´n lineal con n inc´gnitas es cualquier exo
o
o
presi´n del tipo
o
a1 x1 + ... + an xn = b

(∗)

donde x1 , ..., xn representan las inc´gnitas (variables) de la ecuaci´n, los
o
o
n´meros reales a1 , ..., an se llaman coeficientes de la ecuaci´n y b ∈ R es
u
o
llamado t´rmino independiente de la ecuaci´n.
e
o
Ejemplo 0.1.1 Son ecuaciones lineales por ejemplo:
x+y+z=1
−2x + z + w = 0
2x1 − x2 + 3x3 − 5x4 + (1/2)x5 = 12
Ejemplo 0.1.2 No son ecuaciones lineales:
xy + 3w = 1
3y
+w =0
x+
√z
x + 4z + w = 3
Observaci´n 0.1.1 Una expresi´n como 2x + y = 3z − 4 ’es’ una ecuaci´n
o
o
o
lineal, ya que es ’equivalente’ a la expresi´n 2x + y − 3z = −4.
o
Definici´n 0.1.2 Una soluci´n de la ecuaci´n lineal (*) es cualquier n-´pla
o
o
o
u
n
(t1 , ...,tn ) ∈ R tal que al sustituir sus valores ordenadamente en (*), esa
identidad se satisface, es decir,
a1 t1 + ... + an tn = b
Ejemplo 0.1.3 (1, 1, 2) es una soluci´n de la ecuaci´n 2x + y − z = 1, ya
o
o
que (2)1 + 1 + −2 = 1, por otro lado (1, 0, −4) no es soluci´n de la ecuaci´n
o
o
porque 2(1) + 0 − (−4) = 6 = 1.
1

La ecuaci´n (*) se puede expresar como una ecuaci´n matricial, asaber,
o
o


x1
.
a1 ... an  .  = b
.
xn
Estas matrices reciben el nombre de matriz de coeficientes, matriz de
inc´gnitas y matriz independiente respectivamente.
o
Ejemplo 0.1.4 La ecuaci´n lineal x + 2y − 3z + 5w = 2, se puede escribir
o
como la ecuaci´n matricial
o


x
y

1 2 −3 5 
 z = 2
w
Note que al multiplicar la matrices de la izquierda nos queda
(x +2y − 3z + 5w) = (2)
Recordemos que dos matrices son iguales si lo son componente a componente,
al igualar las matrices nos da que
x + 2y − 3z + 5w = 2 (que es la ecuaci´n original).
o
Definici´n 0.1.3 Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones
o
y n inc´gnitas es cualquier colecci´n de m ecuaciones lineales con n inc´gnio
o
o
tas (**)

 a11 x1 + ... + a1n xn = b1

.
.
.
..
.
.
.
.

 a x + ... + a x = b
m1 1
mn n
m
donde x1 , ..., xn representan las inc´gnitas o variables del sistema, a los
o
aij ∈ R se les llaman coeficientes del sistema y b1 , ..., bn ∈ R son llamados
t´rminos independientes del sistema.
e
Si b1 = ... = bm = 0, se dice que el sistema (**) es homog´neo, en caso
e
contrario se dice que es no homog´neo.
e

2

Ejemplo 0.1.5Son sistemas de ecuaciones lineales:


 x1 + x2 + x 3 + x4 = 1

 2x − y + 3z = 0

x3 + x 4 = 2
5x + z = 0
,
x1 − x2 + x3 = 3



3x − y + 9z = 0

x1 + 3x2 − x3 + x4 = −2

 x+y+z =0
x − 4y = 1
2x + (3/2)y + z − (3/4)w = 0
,

2x + 5y − 3z = 2
El primer y cuarto sistema son homog´neos (el segundo y tercero son no
e
homog´neos). Note que una ecuaci´n lineal es unsistema (de una ecuaci´n).
e
o
o
Ejemplo 0.1.6 No satisfacen la definici´n de sistema de ecuaci´n lineal:
o
 √o
 x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2xy + 3z = 0
x3 + x4 = 2
,
5x + z = 0

x 1 − x2 + x3 = 3

 x/y + 2y + z = 0
x − 4y = 1
2x2 + (3/2)y + z = 1
,

2x + 5y − 3z = 2
Observaci´n 0.1.2 Los siguientes sistemas son iguales
o


2y − x + 3z = 1  −x + 2y + 3z = 1

5x + z =y
5x − y + z = 0
,


3z − y + 9z = x
−x − y + 12z = 0
El sistema (**) se puede 
escribir  forma matricial como AX = b, donde
en 

x1
b1
.
.
A = [aij ]mxn , X =  . , b =  . 
.
.
xn
bn
llamadas respectivamente matriz del sistema, matriz de las inc´gnitas
o
y matriz de los t´rminos independientes.
e
Ejemplo 0.1.7 Por ejemplo el sistema
crito como:


−1 2...