03 Areas bajo la curva por Sumatorias d hellip

Universidad Tecnológica de El Salvador

Área bajo la Curva.
Usando Sumas de Riermann
Sea F(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] cuya
grafica es:

Entonces el área bajo la curvaestará dada por la siguiente
expresión:

n

A  lim  f (Ci )x
n 

i 1

En donde:

x 

Matemática III

ba
n

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Ci  a  (x)i

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EjemplosEncontrar el área de la región bajo la curva de:
1.

f(x)  x 2  2 ; eje x, desde x  0 hasta x  3
Primero necesitamos encontrar

x ,

Ci

y

sustituyendo

en

las

ecuaciones dadas. El valor de “a” es
elque está más a la izquierda y el de
“b” el mas a la derecha. Entonces:
a=0, b=3
Luego obtenemos el

ba
n
3-0
x 
n
3
x 
n
Ci  a  xi

f (Ci)

x 

3
Ci  o  i
n
3
Ci  i
n
Luego sustituimosel valor de
por Sumatorias de Riemann A  lim
x 

Matemática III

f (Ci)
n

y

x

 f (Ci)x .
i 1

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f ( x)  x 2  2
f (Ci )  (Ci ) 2  2
2

3 
f (Ci )   i   2
n 
9
f (ci ) 2 i 2  2
n

en la ecuación del Área

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n

Tenemos:

A  lim  f (c )x
x 
i
i 1

Si

 a  b  c    a  b  c  entonces:
 
 n  n  n   n  n  n 

 27  n  n  1  2n  1  
A  lim   

  6
x 
6
n
n
n



 


 9i 2
 3 
A  lim  
 2  
x 
2
  n 
i 1  n

n

Simplificando:

Multiplicamos los dosparéntesis.

 9i 2  3   3  

A  lim  
2
x 
2  n   n  
i 1  n


n 
27i 2 6 
A  lim  
 
x 
3
n
i 1  n


n

 27  n  n  1  2n  1  
A  lim    

 6
x 
6
n
n
n

 
  
 27  n  1  2n  1  
A  lim  

  6
x 
 6  n  n  
ab a b
  entonces:
Si
n
n n
 27  n 1  2n 1  
A  lim        6
x 
 6  n n  n n 

Aplicamos la propiedad 2.

 n 27i 2 n 6 
A  lim  
 
x 
 i 1 n3
i 1 n 

n
6
 27 n
A  lim  3  i 2   
x  n
i 1
i 1 n 


Simplificando:

Aplicamos las formulas 1...