03 Tercer Parcial UV Cálculo I Solución

UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
TERCER PARCIAL DE CÁLCULO I
PROFESOR: Ing. FRANKLIN JOSE VALVERDE DELGADO. E.S.I, M.Sc.
FECHA
: miércoles 7de noviembre de 2012
NOMBRE :

CODIGO:

1. Una escalera de 41 pies de largo descansa sobre una pared vertical, cuando comienza a
resbalar. Su parte superior se desliza hacia abajo sobre la pared,mientras que su parte inferior
se mueve sobre el piso a una velocidad constante de 10 pies / seg. . ¿Qué tan rápido se mueve la
parte superior de la escalera cuando está a 9 pies del suelo?

SOLUCIÓNInformación dada
, cuando
Pregunta: Velocidad de deslizamiento de la escalera
Con ayuda del teorema de Pitágoras encontramos la relación entre las variables
. Cuando

,

Derivando con respecto al tiempola ecuación
, de donde se obtiene:
R/. La parte superior de la escalera se desliza a un velocidad de
2. Para la función
a.
b.
c.
d.

:

Encuentre las coordenadas de los puntos críticos y de inflexión(si los hay).
Determine los intervalos donde la función crece y decrece.
Determine los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
Dibuje la curva.

SOLUCIÓN
a) Hallamosla primera y la segunda derivada de la función dada
,

,

Valores críticos:

, el único valor de que hace cero esta ecuación es
tanto, las coordenadas del punto crítico es
.

,y

. Por lo

Puntos deinflexión:

1

, los valores de
ecuación

que hacen cero esta ecuación son la solución de la

de donde se obtiene:

De esta forma, los puntos de inflexión son:

y

.

b) Analizamos los signos de laprimera derivada
Intervalos donde la función crece:

. Como el denominador es siempre positivo, entonces el cociente es positivo
cuando
y negativo cuando
.
La función crece en el intervalo
La función esdecreciente en el intervalo
c) Analizamos los signos de la segunda derivada
Cóncava hacia arriba

. Como el denominador es siempre positivo, entonces el cociente es
positivo cuando

y negativo...