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V.- CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA
EN SÓLIDOS INFINITOS
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V.1.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN PLACA INFINITA CON CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA
La conducción a través de una placa plana de espesor finito L en la dirección x, y de espesor infinito en las otras dos, por lo que en éstas se desprecian los efectos de borde, la ecuación diferencial de la
conducción es:
∂ 2Φ =1 ∂Φ
α ∂t
∂x 2

, con: Φ = T(x, t) - TF

La zona próxima a la periferia es de resistencia superficial despreciable por lo que Fo < 1 y desde
ahí hasta el núcleo, Fo > 1.
Sí es posible representar la distribución de temperaturas, Φ = T - TF, mediante una expresión de
la forma:

Φ = X ( x) θ ( t )

⇒






∂Φ = ∂X θ
∂x
∂x
∂ Φ = ∂θ X
∂t
∂t

⇒

∂ 2Φ = ∂ 2 X θ 
∂x 2
∂x 2




⇒

1 ∂ 2 X = 1∂θ = - λ 2
X ∂x 2
α θ ∂t

El parámetro λ2 se ha introducido por cuanto cada uno de los miembros de dicha igualdad es función de una sola variable; esta separación de variables conduce al siguiente sistema de dos ecuaciones
diferenciales:

Fig V.1.- Placa plana infinita
2

∂θ + α λ 2 θ = 0
∂t

;

θ = C1 e − α λ

∂2 X + λ2 X = 0
∂x 2

;

X = C 2 sen ( λ x ) + C3 cos ( λ x )

2

t

La solución generales:

Φ = C1 e - α λ t {C2 sen ( λ x ) + C3 cos ( λ x )} = e -

α λ2 t { B
1

V.-111

sen ( λ x ) + B 2 cos ( λ x )}

t= 0
⇒ Φ = Φ ( x, 0 ) = f(x)
Condición inicial, para: 
 0≤x≤L

ó

Φ 0 = T0 - TF

t>0
 en: x = 0 ; Φ = 0 = T( 0 , t )
⇒ 
Condiciones de contorno, para: 
-∞
≤
x
≤
+∞

 en: x = L ; Φ = 0 = T ( L, t )

La condición de contorno se presenta para el caso límite de considerar unvalor muy grande del
coeficiente de transferencia térmica por convección, {metales líquidos}, por lo que la resistencia térmica de la capa de convección es despreciable y la temperatura de la superficie del cuerpo en el tiempo t
es idéntica a la temperatura del fluido, situación a la que se debe llegar en un tiempo muy pequeño
(condición de contorno isotérmica).
Aplicando las condiciones de contornoa la ecuación diferencial:
 x = 0 , Φ = 0 ⇒ B2 = 0
Para: 
2
 x = L , Φ = 0 ⇒ 0 = e - α λ t B1 sen ( λ L ) ⇒ sen ( λ L ) = 0

y considerando que para cualquier valor de t, se satisface por un número infinito de valores del parámetro (λ L) se puede poner:
sen ( λ n L) = 0 ⇒

λn = π n
L

;

n = 1, 2 , 3,...

Para cada valor de n se obtiene uno de λn siendo éstos los valores característicos delproblema, por
lo que la solución para la distribución de temperaturas es un desarrollo en serie de la forma:
∞

Φ=

∑ e- α λ t Bn sen ( λ n x)
2
n

n=1

∞

Aplicando la condición inicial, t = 0, Φ = f(x), resulta: Φ = f(x) =

∑ Bn sen ( λ n x)

n=1

En una serie infinita de funciones de la forma: sen ( λ 1 x), sen ( λ 2 x ), sen ( λ 3 x), ..., sen ( λ n x ), éstas
son ortogonales, cuando se cumpleque:
L

∫0 sen ( λi x ) sen ( λ j x ) dx = 0

, con: i ≠ j

y tiene un valor determinado en un instante considerado.
Si la distribución de temperaturas Φ = f(x) es una función arbitraria se puede poner en función de
una combinación lineal de funciones ortogonales, en la forma:
∞

f ( x ) = B1 sen ( λ 1 x ) + B2 sen ( λ 2 x ) + ... + Bn sen ( λ n x ) + ... =

∑ Bn sen ( λ n x )

n=1

en la que losvalores de Bi son constantes a determinar.
Si la serie anterior es convergente e integrable, y la multiplicamos por, sen ( λ n x ) , se obtiene:
L

∫0

f ( x ) sen ( λ n x ) dx = B1

L

∫0

sen ( λ 1 x ) sen ( λ n x ) dx + ... + Bn

L

∫0 sen 2 ( λn x ) dx

Por definición de ortogonalidad se hacen cero todas las integrales del segundo miembro, menos la
correspondiente al coeficiente Bn, por lo que:V.-112

L

∫0 f ( x ) sen ( λn x ) dx =
L
∫0 sen 2 ( λn x ) dx

Bn =

=

∫

L

0

sen ( λ n L) cos ( λ n L)
sen 2 ( λ n x) dx = L =
2
2 λn

{λ

πn
L

n=

} = L2

= 2
L

∫

L

0

f(x) sen ( λ n x) dx

obteniéndose la siguiente distribución de temperaturas:

Φ= 2
L

∞

e -α λn t sen (λ n x)
2

∑

n=1

∫

L

0

f(x) sen (λ n x) dx = 2
L

∞

∑

e

- ( π n )2 α t
L
sen

n=1

πnx
L

∫

L

0

f(x)...