07 Funtrig

Problemas variados de trigonometría

1) En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) de lados , y respectivamente se
cumple que:
y

Siendo p el semiperímetro del triángulo, calcular el valor de la
Solución:
De acuerdo al enunciado, efectuamos la siguiente gráfica


Si p es el semiperímetro entonces: .....(1)
Reemplazando (1)en entonces luego :

.....(2)

Análogamente reemplazando (1) en entonces: luego:

.....(3)

reemplazando (2) en (3) : por tanto

de la figura : entonces :











2) De la siguiente figura siendo ABCD un cuadrado. se pidecalcular


Solución:
Efectuemos los trazos que indica la figura adjunta , que esta de acuerdo a la
solución siguiente:

Consideremos que la longitud de cada lado del cuadrado sea : “a”
Unamos B y Q entonces: .
Unamos Q y D entonces : QD = a. Luego el Δ AQD es isósceles.
Por D trazamos una perpendicular a AQ en N entonces : AN= NQ.
Como AD  AB y ND  AQ entonces
Δ rectángulo BQA : AQ = .....(1)
Δ rectángulo QND : NQ = entonces : AQ = ....(2)
Igualando (1) y (2) se obtiene:
Por tanto:

3) Si AD = 4 AC y “O” : centro de la circunferencia . Calcular: cos .


Solución:

Veamos la siguiente figura :

Si AC = a entonces AD = 4a , luego: CD = 3a.Hagamos: DB = b.

Por propiedad de relaciones métricas en una circunferencia:

Luego: ....(1)
En el triángulo rectángulo ABD : ....(2)

Reemplazando (1) en (2) ; de donde

Triángulo rectángulo OBD : ....(3)

Luego (1) en (3):
De la figura: finalmente :


4) En un sector circular cuyo ángulocentral es “” está inscrito un lado del cuadrado de
lado “L”. El radio de la circunferencia correspondiente es:

Solución:
Grafiquemos la figura siguiente de acuerdo al enunciado del problema y efectuemos
Los trazos correspondientes :
Trazemos OT perpendicular a NP entonces: OH también será perpendicular a MQ
Luego OT actúa como bisectriz del ángulocentral dividiendo a “  “ en partes iguales y
también actúa como mediana de MQ y NP.
Triángulo rectángulo OMH :
Unamos O y N ,siendo : OA = OB = R entonces : ON = R
Triángulo rectángulo OTN (sombreado de amarillo) por Pitágoras:

Reduciendo:


5) Del gráfico adjunto , calcular: ....(☺)
Solución:Hagamos AD = DB = a .
Unamos el punto B con C entonces en la semicircunferencia .
Por D levantemos la perpendicular DN ( N en AC).
 rectángulo AND :
 rectángulo DBC :

 rectángulo DNC : entonces: ....(1)
Por razones trigonométricas de ángulos compuestos en el primer miembro de (1):



Luego:....(2)
Sustituyendo (1) y (2) en (☺):

Por Tanto:

6) Si AB = BC y AM = 2, MN = 3 ,NC = 4, calcular el valor de sen 

Solución:

Observando la figura : al ser el triángulo ABC isósceles (AB = BC) entonces
Por M trazemos una paralela a AC que corte a BC en P
Por tanto PC = 2entonces NP = 2 y
Por Pitágoras en el triángulo rectángulo MNP : MP = y además que:
por consiguiente:
 cos=
Por propiedad de coseno del ángulo mitad:


despejando cos  : por tanto :


7) Sabiendo que : Arcsen a + Arcsen b + Arcsen c = ....(☺)
Reducir : E =
Solución:
De (☺) hagamos:...