09 Calculo De Volumen Modo De Compatibilidad

AnálisisMatemático II
Cálculo de volúmenes

Ing. Ms. David Uscamayta
Verástegui

Propósitos:
 Calcula volúmenes por el método del disco.
 Calcula volúmenes por el método de la arandela.
 Calculavolúmenes por el método cascarones
cilíndricos.

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INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólido
enfrentamos el mismo problema que al tratar de
calcular un área.
Debemos usar el CálculoIntegral para llegar a una
definición exacta.

Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos
sencillos como cilindros y prismas.

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h

A

c

h
r

Cilindro Recto
V = Ah

Cilindro circular
V =πr2h

a

b

Paralelepípedo
Rectangular
V = abc

El volumen de un sólido cualquiera podrá
descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos
elementales como los anteriores
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Sección transversal
Es unaregión plana de un sólido obtenida al
interceptar al sólido con un plano perpendicular a
este.

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Volumen de un sólido de revolución
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una
región delplano alrededor de una recta del plano
llamada eje de revolución.

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1. MÉTODO DEL DISCO
Diferencial de
volumen
y=f(x)

∆xi

xi

f(xi)

f(xi)
a

xi

b

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TEOREMA
Sea f una función continua en elintervalo [a, b] y
f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al
girar alrededor del eje X la región limitada por la
curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

n

V = lim ∑ π [ f ( xi )]∆xi
2

n→ ∞

i =1

= π ∫ [ f ( x)] dx
b

2

a

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Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al rotar
alrededor del eje X la región acotada por la curva
y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y =0.

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Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al rotar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,
y = 1.

y

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3. Calcula elvolumen del sólido que se obtiene al
girar la región R, alrededor del eje y.

2
R = (x, y ) ∈ ℜ2 / 1 ≤ y ≤ 4; 0 ≤ x ≤ 
y


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Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido...