1.1 Definición y origen de los números complejos

UNIDAD 1.- NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Historia de los números complejos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en elSiglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado porDescartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Definición de número complejo
Los númeroscomplejos z se pueden definir como pares ordenados
z = (x, y)
de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los númerosreales x.
El conjunto de los números complejos contiene, por tanto, a los números reales como subconjunto. los números complejos de la forma (0, y) se llaman números imaginarios puros.Los números reales x e y en la expresion [1] se conocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria de z. Escribiremos:
Re z = x, Im z = y[2]
Dos números complejos (x1, y1) y (x2, y2) se dicen iguales si tienen iguales las partes real y imaginaria. Es decir:
(x1, y1) = (x2, y2) si y sólo si x1= x2 e y1 = y2 [3]
Lasuma z1 + z2 y el producto z1z2 de dos números complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) se definen por las ecuaciones:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) [4]
(x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1 y2 + x1, y2)[5]
En particular, (x, 0) + (0, y) = (x, y) y (0, 1)(y, 0) = (0, y); luego
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). [6]
Nótese que las operaciones definidas por las ecuaciones [4] y [5] sonlas usuales cuando se restringen a los números reales:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0),
(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0).
El sistema de los números complejos es, en consecuencia, una extensión natural del de los números reales.
Pensando en un número real como x o como (x, 0), y denotando por i el número imaginario puro (0, 1), podemos reescribir la Ecuacion [6] asi*
(x, y) = x + iy.[7]
Asimismo, con el convenio z2 = zz, z3 = zz2, etc., hallamos que
i2 = (0,1)(0,1) = (-1, 0);
es decir,
i2 = -1
A la vista de la expresion [7], las Ecuaciones [6] y [7] se convierten en
(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2),...