1.7 : ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

1.7 : ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Concepto:
Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:

Donde x representa la variable ya, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, unao ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).


Simbología:
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga quesea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación    x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizanporque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
                                 ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Deducción de la formula general:
Sea laexpresión general cuadrática:
ax^2 + bx + c = 0 ; donde a, b y c son constantes cualesquiera( x es la variable)

restamos c de ambos lados de la ecuación (o pasamos c al otro lado a restar)

ax^2 + bx = -c
ahora dividimos ambos lados de la ecuación por "a"
x^2 + b/a x = -c/a
del lado izquierdo de la ecuación realizamos una completacion de cuadrados(convertimos en trinomio cuadrado perfectola expresión)
Esto significa que debemos agregar un numero tal que se cumpla que la raíz de ese número multiplicado por la raíz del termino cuadrático y multiplicado por dos sea exactamente igual al termino lineal(x con exponente 1) este número es (b/2a)^2; ya que su raíz(b/2a) multiplicado por la raíz del termino cuadrático x^2 (x) y multiplicado por 2 dan exactamente el
Termino lineal(b/ax)

AGREGAMOS ENTONCES EL TERMINO:

x^2 + b/a x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a

del lado izquierdo factorizamos el trinomio cuadrado perfecto y del lado derecho realizamos la resta de fracciones
( x + b/2a )^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2

aplicamos raiz cuadrada de ambos lados de la expresion (raiz cuadrada = sqr)
(x + b/2a ) = sqr(b^2 - 4ac) / sqr(4a^2)
(x + b/2a) = +- sqr( b^2 - 4ac) / 2a(el +- es debido a que el cuadrado de un numero siempre es positivo, sea el numero positivo o negativo)
ahora dejamos sola a la variable x del lado izquierdo, con lo cual obtenemos

x = -b/2a +- sqr(b^2 - 4ac)/2a
x = [-b +- sqr(b^2 - 4ac)]/2a
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