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ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Capítulo I

1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Para comprender la importancia de las ecuaciones diferenciales en ingeniería vamos
a empezar poniendo un ejemplo práctico de su utilidad.
0.5ms
1
U1

V1

2
R

12Vdc

150
L
100mH

V

Supongamos que se desea alimentar con corriente
continua una carga eléctrica constituida poruna
resistencia (R=150Ω) y una bobina (L=100mH). Si se
dispone de una batería de 12 voltios, el circuito a
emplear podría ser el mostrado a la derecha. El
modelo matemático de la resistencia, la bobina y
las leyes físicas permiten determinar el voltaje en la
resistencia VR, en la bobina VL, y la corriente que
circula por el circuito. La corriente en la bobina
tiene la evolución temporal mostradaen la figura si
el interruptor U1 es cerrado a los 0.5 milisegundos.

0

vR = i.R , vL = L

di
dt

V1 = vR + vL
12 = i.R + L

di
dt

Ejemplo 1-1
En este sencillo ejemplo podemos observar que la ecuación que define el
comportamiento de la corriente respecto al tiempo es de tipo diferencial. También
notamos que la información referente al momento en que se cierra el interruptor no
está contemplada enla ecuación (t=0.5ms), y suponemos que estas “condiciones
iniciales” se incorporarán más adelante durante la resolución de la siguiente
ecuación:

12 = i.R + L

di
dt

La mayoría de los modelos matemáticos que representan realidades físicas vienen
expresados en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que se justifica un estudio
detallado de éstas para una mayor comprensión de la ingeniería.

1ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1 Definiciones generales
Una Ecuación Diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas. Cuando la
ecuación diferencial tiene una sola variable independiente se denomina Ecuación
Diferencial Ordinaria (EDO). Veamos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales
ordinarias en los que la variable independiente es x y ladependiente es y:

dy
= x+5
dx

d2y
dy
+3 +2y =0
2
dx
dx

x y '+ y = 3

y ' ' '+2( y ' ' ) 2 + y ' = cos x

( y' ' )2 + ( y' )3 + 3 y = x 2
Si hay más de una variable independiente (dos o más), la ecuación diferencial se
denomina Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales (EDDP). Veamos dos ejemplos
de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:

∂z
∂z
=z+x
∂x
∂y

∂2 z ∂2 z
+
= x2 + y
∂ x2 ∂ y2Ecuación diferencial: Es una relación donde aparecen variables dependientes e
independientes o incógnitas y además las derivadas con respecto a las variables
independientes. Existen dos tipos de ecuaciones diferenciales: ordinarias (EDO) y en
derivadas parciales (EDDP).
Resumiendo:
Tipos de ecuaciones diferenciales:
Ecuación diferencial total u ordinaria.
Es aquella ecuación donde sólo existe unavariable independiente y una variable
dependiente y las derivadas de ésta con respecto a la única variable
independiente. En el siguiente ejemplo x es variable independiente siendo y la
variable dependiente:

dy
+y=0
dx

Æ ED ordinaria o total

Ecuación diferencial en derivadas Parciales.
Se denomina así cuando existe más de una variable independiente. Por lo tanto,
las derivadas que pueden serdefinidas con respecto a cualquiera de las variables
independientes, serán derivadas parciales. En el siguiente ejemplo “x” y “t” son
variables independientes, siendo “y” la variable dependiente:

∂2 y ∂2 y
= x + 2 xt
+
dt 2 ∂x∂t

Æ ED en derivadas parciales

2

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Ecuaciones diferenciales de primer orden

Grado y Orden de una ecuación diferencial.
El grado
Se determinateniendo en cuenta la potencia a la cual está elevada la mayor de
las derivadas en la ecuación diferencial.
El orden
Es determinado por la mayor de las derivadas en la ecuación diferencial.
Para el ejemplo siguiente el orden será tres, y el grado será uno:

∂3 y ∂2 y
= x + 2 xt
+
dt 3 ∂x∂t
Ecuación diferencial lineal.
Si en la ecuación diferencial no hay un producto entre las variables dependientes...