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CALCULO

C A P I T U L O N O. 1

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de
desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad
dada y sepa indicar el resultado mediante las tres formas vistas.

1.4.1.- Definición de Desigualdad.Una desigualdad, llamada también inecuación por algunos autores, esuna expresión matemática,
específicamente del álgebra, que nos indica que un cierto conjunto de números son mayores,
menores y/o iguales a una cantidad dada. Por ejemplo:
•

(2x2 + 3x – 2) < (4x + 1)

En este primer caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a
( 2x2 + 3x – 2 ), deben ser estrictamente menores que ( 4x + 1 ).
•

(6x – 3) > (x2 + 2)

En este segundocaso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a
( 6x – 3 ), deben ser estrictamente mayores que ( x2 + 2 ).
•

( x – 6) ≥ 9

En este tercer caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a
( x – 6 ), deben ser mayores o iguales a 9.
•

3x2 + 5≤ ( 8x + 2 )

En este cuarto caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “que satisfacen al valor
absoluto de ( 3x2 + 5 ), deben ser menores o iguales a ( 8x + 2 ).
Dado que las desigualdades siempre están dadas mediante una expresión matemática que contiene
variables, la solución de ellas siempre es una región del plano. A diferencia de las ecuaciones, que
son igualdades, en las que la solución siempre es un conjunto bien definido de valores cuya
cardinalidad está dadapor el orden de la ecuación.
1.4.2.- Propiedades de las Desigualdades.
Para resolver las desigualdades se observan las mismas reglas del álgebra, por lo que podemos
efectuar las siguientes operaciones:
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M. C. J. A G U S T I N F L O R E S

AVILA

CALCULO

•

C A P I T U L O N O. 1

Si le sumamos el mismo numero a ambos miembros de una desigualdad sin importar el signo, la
dirección de ladesigualdad NO se altera.
Es decir,

si A > B

De la misma forma,
•

C>0

y

si A > B

A+C>B+C

entonces
y

C< 0

A–C>B-C

entonces

Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un numero positivo la dirección de la
desigualdad NO se altera.
Es decir,

•

si A > B

y

C>0

entonces

A*C>B*C

Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un numero negativo la dirección de ladesigualdad se invierte.
Es decir,

si A > B

y C< 0

A*C
entonces

Nota.- Recuerde que dividir ambos miembros de una desigualdad por el mismo número es igual a
multiplicarlos por el inverso de tal número, por lo que estas dos últimas propiedades son aplicables
para el caso en que dividimos ambos miembros de la desigualdad por el mismo número sea positivo
o negativo.
1.4.3.- Resolución DesigualdadesLineales.
1.4.3.1.- Resolución Analítica.
Son las más simples ya que solamente contienen variables elevadas a la primer potencia, por lo que
para resolverlas basta con aplicar las reglas indicadas en el apartado anterior. Sea el siguiente
ejercicio:
Resuelva la desigualdad indicada.
1.- ( 4x – 8) > (x – 9)
Solución:
Agrupamos del lado izquierdo de la desigualdad las incógnitas y del lado derecho lasconstantes
empleando las reglas señaladas.
4x – x > -9 + 8
Hacemos las operaciones elementales contenidas en cada miembro y despejamos el coeficiente de la
variable “ x “ que en este caso es “ 3 “ obteniendo así la solución pedida.
3x > 1
x > -1/3
La solución son todos los reales estrictamente mayores que –1/3.
La solución dada como un intervalo adopta la siguiente forma:
38
M. C. J. A G U S T IN F L O R E S

AVILA

CALCULO

C A P I T U L O N O. 1

x ∈ ( -1/3, ∞ )
La solución dada en notación de conjuntos adopta la siguiente forma:
S = { x / x ∈ ℜ y x > -1/3 }
La representación gráfica de la solución la mostramos enseguida:
Los reales que se encuentran en esta región
Satisfacen la desigualdad.

-1/3

0

1.4.3.2.- Resolución Gráfica.
Dado que al resolver una desigualdad lineal estamos...

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