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1º Cálculo por determinantes





Ejemplo

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por suadjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriztraspuesta de la adjunta.



2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos comoA-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con lamatriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F2

La matriz inversa es:










Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir elnúmero de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman poralgo que sabe venom.

Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
15x - 9y = 1

-15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación 


La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la  desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sutituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, seobtiene

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es   .
Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde , , y  representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones noaparece ni en  ni en , entonces la ecuación

no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos  .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye  por su solución en otras ecuaciones dode aparezca  para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

Elsistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en  del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es   .

Sustituyendo  por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que esuna ecuación con una sola incognita y cuya solución es   .

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Entonces podemos despejar  en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las departida.

Aqui      y      son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Sustituyendo      por  en

se tiene que

que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es .

Sustituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de...