1

CALCULO

CAPITULO 1

1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES
1.6.1.- Definición.
Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se
comporta como un límite gráfico hacia la cual la gráfica se aproxima indefinidamente pero nunca
la toca y mucho menos la brinca. A medida que la variable independiente de la función tiende
hacia un cierto valor, lacorrespondiente variable dependiente tiende a infinito, cualquiera que
este sea. En general, la recta puede tener cualquier orientación, sin embargo, en nuestro caso
únicamente estudiaremos las:
•

Asíntotas Verticales.

Como su nombre lo índica, son rectas verticales asociadas a la función. Se encuentran presentes
únicamente en funciones racionales de la forma:
f(x) = g(x) / h(x)
y se determinanencontrando las raíces del denominador h(x) correspondiente. Tales valores
reciben el nombre de Polos de la función. Entonces, el número de polos asociados a una función
determinarán el número de asíntotas verticales que tiene tal función. Sea el ejemplo siguiente:
•
f ( x) :=

Obtenga las asíntotas verticales de la función:
4
x− 4

Como lo indicamos en el párrafo anterior, para determinar las asíntotasde ésta función
obtenemos sus polos, los que, como ya mencionamos, son los valores de “ x “ para los cuales
h(x) = 0. Sabemos que en los casos en los cuales h(x) = 0 la función se indetermina es decir su
valor tiende a infinito. En este ejemplo la asíntota se encuentra en:
x–4=0 ;

es decir en

x = 4.

La recta x = 4 es la asíntota de esta función, que es única, ya que el denominador es untérmino
lineal lo que implica que solamente en un valor se anula. La gráfica correspondiente se muestra
en la figura siguiente. En ella vemos que a medida que x se aproxima a 4 el cociente aumenta
indefinidamente.

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M. C. J. AGUSTÍN FLORES AVILA

CALCULO

CAPITULO 1

10
4

f ( x)

10

0

10

10
x

Resumen:
A las rectas x = x0 [ polos de f(x) ] se les llama asíntotas verticales de f(x).
Los polos def(x) son rectas hacia la cual tiende la grafica sin tocarla. A medida que la x tiende
hacia el valor de la asíntota el cociente aumenta indefinidamente y la curva se aproxima a la
recta.
•
f ( x) :=

Obtenga las asíntotas de la siguiente función:
4
2

x − 5x + 6

10
23

f ( x)
10

0

10

x

En este caso la gráfica tiene dos asíntotas en “ x = 2 y en x = 3 “, ya que siendo ahora el
denominador esuna cuadrática por lo que tiene dos raíces.
A medida que la x se aproxima a 2 o a 3 el cociente aumenta indefinidamente y la curva se
aproxima a la recta asíntota.
•

Obtenga las asíntotas verticales de la siguiente función:

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M. C. J. AGUSTÍN FLORES AVILA

CALCULO

f ( x) :=

CAPITULO 1

−1
2

x + 4x + 3

−3 −1
10

f ( x)
10

0

10

10
x

En este caso la gráfica tiene dos asíntotas en “ x = -1y en x = -3 “, ya que siendo ahora el
denominador una cuadrática tiene dos raíces. A medida que la x se aproxima a -1 o a -3 el
cociente aumenta indefinidamente y la curva se aproxima a la recta asíntota.
•

EJERCICIOS:

Determine las asíntotas verticales de las siguientes funciones.
1

f ( x) :=

( x + 2)
f ( x) :=

2

8
2

x + x+ 1

f ( x) :=

•

3x − 6
2x + 4

Asíntotas Horizontales.

Como sunombre lo índica, son rectas horizontales asociadas a la función. Se encuentran
presentes únicamente en funciones racionales de la forma:
f(x) = g(x) / h(x)
y se determinan haciendo que la variable independiente “ x “, tienda al infinito lo que trae como
consecuencia que la función cociente tienda a un valor determinado fijo, al que nunca va a llegar
y mucho menos sobrepasar. Considérese el casode una función racional cuyos términos son
polinomios dada por:
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M. C. J. AGUSTÍN FLORES AVILA

CALCULO

CAPITULO 1

f(x) = P(x) / Q(x)
Dependiendo de la elación entre los grados de los dos polinomios, tendremos los siguientes
casos:
1. – El Polinomio P(x) del Numerador y Polinomio Q(x) del Denominador tienen el mismo
grado
•

La asintota horizontal es la recta dada por el cociente de los...