1

1

Factorización
Raíz Cuadrada
Completar Cua
drado
Fómula Cuadrá
tica
Ejercicios
Fin

2

Objetivos:
1.
2.

Conocer la forma general de una ecuación cuadrática
Resolver ecuaciones cuadráticas mediante los
siguientes métodos:
a. Método de factorización
b. Método de raíces cuadradas
c. Método de completar el cuadrado
d. Método de la Fórmula Cuadrática

3

Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Unaecuación con variable x que se puede reducir a la forma
ax 2  bx  c 0 donde a, b y c son constantes con a 0
se conoce como ecuación cuadrática.
Podemos resolver las ecuaciones cuadráticas mediante los
siguientes métodos:
Método de factorización
Método de raíces cuadradas
Método de completar el cuadrado
Método de la Fórmula Cuadrática

4

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

1) x 2  10 x  9 02) 2 x 2 19 x  33
2

3) 9 x 25
4)  x  5 20
2

5) x 2  8 x  14 0
6) 7 x 2  0

5

Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas
1. Método de Factorización
El procedimiento para el Método de Factorización es:
1.
2.
3.

Iguale la ecuación a cero.
Factorice el polinomio que forma la ecuación.
Use la propiedad del producto nulo para reducir a
ecuaciones lineales.
4. Resuelva lasecuaciones lineales.

Empezar

6

Ejemplos: Resuelve las ecuaciones usando el método de
factorización.

1) x 2  10 x  9
x 2  10 x  9 0

 x  9 x  1 0
x  9 0 ó x  1 0

x 9

x 1

C. S.=  9, 1

7

2) 2 x 2 19 x  33
2

2 x  19 x  33 0

 2 x  3 x  11 0
2 x  3 0

ó x  11 0
x 11

2 x  3
3
x
2

 3
C.S.= 
,
 2


11



8

3) 2 x  18 x
2
2 x  18 x  0
2

2x  x 9  0
2x  0

0
x
2
x0

ó x 9  0
x9

C.S.=  0, 9

9

4) 9 x  36
2

9 x  36  0
2

9 x 2 36 0


9
9 9

x2  4  0

 x  2  x  2  0
x2 0

x20
x  2

C. S.=

ó



x2

2, 2 

10

2. El método de raíz cuadrada

Recordar que

 x si x  0

2
x  x   x    x si x  0

Si x  p entonces
2

x  p por lo tanto tenemos que,
2

x  p x p
x  p ó x   p.
El procedimiento parael Método de Raíz Cuadrada
1. Despeje la variable cuadrática
2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación
3. Simplifique

Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el
coeficiente del término lineal es cero.

Ejemplos: Resuelve las ecuaciones usando el método de la raíz
cuadrada.

1) 9x 2  25
9 x 2 25

9
9
25
2
x 
9

25
x 
9
5
x 
3
5
x 
3
 5
C. S.= 
,
 3

2)

 x 5

2

 x  5

2

 20
 20

x  5  20
x  5   4 5

2

x  5 2 5
x 5 2 5



C. S.= 5  2 5, 5  2 5
5

3



11

12

2)

 x  5

2

 x  5

2

 20
 20

x  5  20
x  5   4 5

x  5 2 5
x 5 2 5



C. S.= 5  2 5, 5  2 5



13

3. El método de completar el cuadrado
Procedimiento para completar el cuadrado
1. Deje a un lado los términos con variables.
2. Divida porel coeficiente de la variable cuadrática.
3. Encuentre el término que completa el cuadrado.
El término que completa el cuadrado se
encuentra dividiendo el coeficiente del término
lineal por 2 y elevando al cuadrado.
4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos
lados de la ecuación.
5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.

Empezar

Ejemplos: Resuelve completando el cuadrado
21) x  8 x  14 0
2
x  8 x  14
2

8
2



4
16
 
 2

x 2  8 x 16  14 16
x 2  8 x  16 2

x 2  8 x  16 2

 x  4 x  4 2
2
 x  4 2
 x  4 2  2
x  4  2

14

x  4  2

x  4  2



C.S   4  2, 4  2



15

2

2) 9 x  12 x  14 0
9x 2 12 x 14

=
9
9
9

4
14
2
x  x
32
9
2

  4    2
4

 
 
9
 3 2    3 

4
14
4
4

x  x 

9
9
3
92



2

2
 x  2
3




2
 x 
3


2

 2

2
x  2
3
2
x  2
3

2
 2

C.S .    2,  2
3
 3


16

Ejemplo: Resuelva para x completando el cuadrado

ax  bx  c  0
a 2 b
c
x  x
a
a
a
b
c
2
x  x
a
a
2

2

2
2
b
b
b
c 4a
2
x  x 2  2 
a 4a 4a a 4a

b
b  4ac
 x  
2
2a
4a



b
 b 
   2
4a
 2a 

b b
c b
x  x 4a 2    2
a
a 4a
2

2

2

b
b 2 ...