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ECUACIONES DIFERENCIALES
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN E0100
(1) Una taza de caf´e cuya temperatura es de 190◦ F se deposita en un cuarto cuya temperatura
es de65◦ F . Dos minutos m´as tarde la temperatura del caf´e es de 175◦ F . ¿Despu´es de cuanto
tiempo la temperatura del caf´e ser´a de 150◦ F ?
(2) Un term´ometro en el que se lee 70◦ F se lleva afueradonde la temperatura es de 10◦ F . Cinco
minutos m´as tarde el term´ometro marca 40◦ F . ¿Qu´e tiempo debe transcurrir para que el
term´ometro marque medio grado ma´s que la temperatura ambiente?
(3)Un term´ometro que esta en el interior de una habitaci´on se lleva al exterior donde la temperatura es de 5◦ F . Despu´es de un minuto el term´ometro marca 55◦ F y despu´es de 5 minutos
marca 30◦ F .¿Cu´al era la temperatura del term´ometro en la habitaci´on?

canek.uam.mx: 22/ 4/ 2003.
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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN E0100

Respuestas
(1) Una taza decaf´e cuya temperatura es de 190◦ F se deposita en un cuarto cuya temperatura
es de 65◦ F . Dos minutos m´as tarde la temperatura del caf´e es de 175◦ F . ¿Despu´es de cuanto
tiempo la temperatura delcaf´e ser´a de 150◦ F ?
Sea T (t) la temperatura (en ◦ F ) del caf´e en el instante (minuto) t ≥ 0.
Aqu´ı se tiene que:
T (t = 0) = 190, Tm = 65 y T (t = 2) = 175
El problema a resolver es:
dT
= k(T − 65);T (0) = 190, T (2) = 175
dt
para determinar la temperatura del caf´e en cualquier instante (minuto) t ≥ 0.
dT
= k(T − 65) ⇒
dt
dT
= k dt ⇒
T − 65
dT
= k dt ⇒
T − 65
ln(T − 65) = kt + c1 ; c1constante ⇒
T − 65 = ekt+c1 = ekt ec1 = ekt c ⇒
T (t) = cekt + 65; c constante
T (0) = 190 ⇒ T (0) = cek(0) + 65 = 190 ⇒ c = 125 ⇒
T (t) = 125ekt + 65
T (2) = 175 ⇒ T (2) = 125ek(2) + 65 = 175 ⇒
22
22
110
=
⇒2k = ln
⇒
125
25
25
22
1
= −0.0639 ⇒ k = −0.0639
k = ln
2
25

e2k =

Entonces:
T (t) = 125e−0.0639t + 65
Es la temperatura (en ◦ F ) del caf´e en el minuto t ≥ 0.
Sea t1 el instante en que T (t1...