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FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA

Ecuación de la recta que pasa por el origen
Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.)
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Fig. 4.6
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulosOP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: 

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
 
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 
Ecuación de la recta conocida su pendiente m y su intercepto b con el eje y
Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.) 
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fig. 4.7.Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas 
P’’(x, Y), Y  y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces  , de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Esdecir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida. 

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y,entonces la ecuación de l, viene dada por:
                y = mx + b             (1)
Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
                 y1 = mx1 + b          (2)

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:
y – y1 = m(x – x1) (3)
La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de laecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma: 
y = mx + (y1 – mx1).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y1 – mx1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente. 

Como l pasa por el punto P1(x1,y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que 
                           y – y1 = m1 (x – x1)    (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.

Esto es y2 – y1 =; de donde  (2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene
(3) 
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.Observaciones
 
     i.    Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación 
          (3) también puede escribirse en la forma: 

            Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

   ii.   Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la 
      ecuación de la resta (3) también puedeescribirse en forma de determinante, así:
= 0

Ecuación segmentaria de la línea recta

Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por: 

Esdecir,  de donde, 

Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:
(1)
La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)
y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0,...
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