13 colonias inglesas

1.
1.1

EVENTOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad

Todos los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad pueden ser ilustrados mediante
un sencillo ejemplo. El ejemplo que veremos a continuación tiene un alto interés para la
llamada física estadística. Consideremos la molécula A que se mueve caóticamente dentro
de un receptáculo que tiene la forma de una caja(Fig. 1.1)
Un evento aleatorio se define como un fenómeno que en la realización experimental su
observación ocurre o no ocurre. Por ejemplo, la posición de la molécula A en un determinado instante se encuentre dentro del volumen ∆τ ubicado al interior de la caja (Fig. 1.1).
Si la molécula A pudiese ser fotografiada, la fotografía obtenida determinará dos posibles
resultados, que se encuentre alinterior de ∆τ, en cuyo caso consideramos que el evento
ha ocurrido, o que la molécula se encuentre fuera de ∆τ, entonces el evento no ha ocurrido. Un experimento que determina la observación de un evento aleatorio es llamado una
prueba.

Fig. 1.1
Habitualmente, se entiende por probabilidad de un evento aleatorio como la razón entre
el número de pruebas m en que el evento ha ocurrido y elnúmero total M de pruebas, de tal
manera que M sea suficientemente grande. Si designamos la probabilidad de que el evento
A ocurra por W (A), tenemos que
m
m
o W (A) = lim
W (A) =
M→∞ M
M
¿Por qué se impone el requerimiento de que el número de pruebas M sea suficientemente grande? Y ¿cuán grande debe ser? El hecho de que M debe ser grande es obvio
conforme a la precisión para determinar elvalor de la probabilidad. Supongamos que fotografiamos la molécula en la caja y paramos despues de obtener la primera fotografía
mostrando a la molécula dentro de la región ∆τ . Si el número total de fotografías fue de
127, podría ser prematuro concluir que W (A) = 1/127. Ahora, si tomamos 60 fotografías
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más, podermos ver, por ejemplo, que el evento en que estamos interesados no ocurrióaún
cuando se realizaron pruebas adicionales y, consecuentemente, de acuerdo a las nuevas
mediciones la probabilidad es de 1/187. Para obtener un resultado suficientemente preciso, debemos realizar pruebas hasta que la razón m/M difiera una de otra en un valor
pequeño determinado por la precisión en que nosotros queremos conocer la probabilidad
del evento A. Rigurosamente hablando, puesto que elevento A ocurre aleatoriamente, no
podemos excluir de nuestras consideraciones el caso en que la razón m/M obtenida experimentalmente no nos entrega el correcto valor de la probabilidad. Aunque tales casos son
posibles en principio, son eventos cuya chance de ocurrencia es extremadamente pequeña,
y su probabilidad disminuye cuando aumenta el número de pruebas.
Daremos un interesante ejemplohistórico que ilustra lo que hemos dicho anteriormente.
El científico francés Pierre Simón de Laplace, uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad, estuvo interesado en los nacimientos de niños y niñas. El material por el estudiado,
que incluía un número de ciudades europeas, y así para Francia completa, mostraba que la
razón que la razón entre el número m de niños nacidos y el númerototal de infantes nacidos M estaba cercano a 0.5116. Tomando en cuenta que el número de niños nacidos m que
el había analizado era muy grande, Laplace llegó a la conclusión que la discrepancia que
había descubierto no podía deberse a la suerte. Descubrió que el número de infantes nacidos en París incluía a los infantes abandonados, y la población de los suburbios abandonaba
principalmente aniñas. Después de excluir los datos relacionados a infantes abandonados,
la estadística de los nacidos en parís se ajustaron a los conclusiones de otras ciudades europeas.
La importancia de cuántas pruebas son necesarias no es de modo alguno trivial. Como
veremos, en el ejemplo con la molécula, las pruebas pueden ejecutarse de dos formas, y
que en principio son diferentes.
De la primera...