13 de Octubre Series de Fourier

ANALISIS DE SEÑALES
Series de Fourier

Representación
dominio tiempo y
frecuencia.
Análisis espectral.

Funciones Periódicas
Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad
para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le
llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2,3,...

Funciones Periódicas
ACTIVIDAD 1: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si
es que son periódicas:
1)

f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2)

f(t)= sen2(2t)

3)

f(t)= sen(t)+sen(t+)

4)

f(t)= sen(1t)+cos(2t)

5)

f(t)= sen(2 t)

6)

f(x) = tg (1/2)x

7)
8)
9)

10)

Funciones Periódicas
Ejemplo: ¿Cuál es el período de la funciónf(t) cos( t )  cos( t )?
3
4
Solución.-Si f(t) es periódica se debe cumplir:

f(t  T) cos( t 3T )  cos( t 4T ) f(t) cos( 3t )  cos( 4t )

Pero como se sabe cos(x+2k)=cos(x) para cualquier entero
k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que
T/3=2k1, T/4=2k2
Es decir,
T = 6k1= 8k2
Donde k1 y k2 son enteros,
El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es
decir,T=24

Funciones Periódicas
Gráfica de lafunción
f(t) cos( t )  cos( t )
3

4

3
2

T

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

f(t)

1
0
­1
­2
­3

24 
0

50

100

t

150

200

Funciones Periódicas
Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno
produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función
f(t) = cos(1t)+cos(2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales
que
1T= 2m,2T=2n
De donde

1 ser m
Es decir, la relación 1/ 2 debe
un número racional.
2



n

Funciones Periódicas
Ejemplo: la función cos(3t)+cos(+3)t no es periódica, ya que
no es un número racional.

3
1

2



3

f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

2

f(t)

1

0

­1

­2

0

5

10

15

t

20

25

30

Serie Trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse
por lasiguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(0t)+a2cos(20t)+...
+ b1sen(0t)+b2sen(20t)+...
Donde 0=2/T.
Es decir,



f ( t )  12 a 0   [a n cos(n0 t )  b n sen (n0 t )]
n 1

Componentes y armónicas
Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de
componentes sinusoidales de diferentes frecuencias n=n0.
A la componente sinusoidal defrecuencia n0: Cncos(n0t+n) se le
llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente
fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia 0=2f0=2/T se le llama
frecuencia angular fundamental.

Componentes y armónicas
A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de
corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t)en
cada periodo.
Los coeficientes Cn y los ángulos n son respectiva-mente las
amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.

Componentes y armónicas

f(t) cos( 3t )  cos( 4t )

Ejemplo: La función

Como ya se mostró tiene un periodo T=24, por lo tanto su
frecuencia fundamental es 0=1/12 rad/seg.
Componente fundamental es de la forma:
0*cos(t/12).
3

cos(3t/12)=cos(t/4)

2

Cuartoarmónico:

1

Cos(4t/12)=cos(t/3)

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

f(t)

Tercer armónico:

0

­1
­2
­3
0

24 
50

100

t

150

200

Componentes y armónicas
Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene tantas partes
positivas como negativas, por lo tanto su componente de cd es cero,
en cambio

f(t) 1  cos( 3t )  cos( 4t )
2
1

f(t)

Tiene tantas partes
arriba como abajo
de 1 por lo tanto,
sucomponente de
cd es 1.

3

0

­1
­2
­3
0

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
24 
50

100

t

150

200

Cálculo de los coeficientes de la Serie
Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de
Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los
coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

f (t)

 12 a 0



  [a n cos(n0 t )  b n sen (n0 t )]
n 1

Cálculo de los...