Series de fourier

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SERIES DE FOURIER

CONCEPTOS BÁSICOS

Las series de Fourier permiten representar funciones periódicas mediante combinaciones de senos y cosenos (serie trigonométrica de Fourier) o deexponenciales (forma compleja de la serie de Fourier).

Si f es una función periódica de período 2T seccionalmente continua, admite la siguiente representación en los puntos de continuidad:

[pic]

Donde:[pic]

Nótese que las integrales pueden ejecutarse entre dos valores cualesquiera separados por un período. En los puntos de discontinuidad de la función, la serie anteriormente mencionadaconverge a la semisuma de los límites laterales de la función.

Otra forma de representar la misma función es mediante una serie compleja, en la cual se aprovecha la fórmula de Euler ea + ib = ea(cosb +isenb). Resulta, en tal caso:

[pic]

Donde:

[pic]

PROBLEMAS RESUELTOS

) Serie de Fourier de una función periódica de período distinto a 2(. Hallar la serie trigonométrica de Fourier parala función periódica definida por:

[pic]

Solución

Aquí T = 1. Hallemos en primer lugar los coeficientes. Son:

[pic]

El coeficiente a0 debemos calcularlo por separado, dado que la formade an obtenida arriba no está definida para n = 0. Calculamos, así:

[pic]

De esa forma, la serie de Fourier buscada será:

[pic]

b) Para graficar la suma de la serie, recordemos que coincidecon la función en los puntos en que ésta es continua, y converge a la semisuma de los límites laterales en los puntos de discontinuidad. Tenemos así:

Los puntos gordos indican los valores quealcanza la serie en los puntos de discontinuidad, que son la semisuma de los límites laterales en cada caso.

c) Para evaluar la serie numérica que nos piden, evaluaremos la serie en un punto adecuado.A todas luces el punto más sencillo para evaluar la serie es t = 0. Allí tenemos que los sen(nt) se hacen todos cero y los cos(nt) se hacen todos unos. De esa manera la serie quedaría:

[pic]...
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