1Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada integral:
Corresponde a un operador T ( f ) definido por la integral


1 .

T ( f )   k ( s, t ) f (t )dt
0

Con f (t ) definido para T  0

Transforma una función f de la variable t en una función F de la variable s .
La integral 1 se define como un límite


b

k (s, t ) f (t )dt
0 k (s, t ) f (t )dt  Lim
b 0

Si el límite existe se dice que laintegral converge, en caso contrario diverge. En general el
límite existirá sólo para ciertos valores de la variable s .
La función k (s, t ) en 1 se llama Kernel o Núcleo de la trasformada. La elección de
k (s, t )  e  st como el núcleo nos proporciona una integral especialmente importante.
Definición: sea f una función definida por t  0 entonces se dice que la integral


£f(t)   e st f(t )dt 2
0

Es la transformada de Laplace de f , siempre que la integral converja.
Cuando la integral de la definición 2 converge el resultado es una función de s . En el
análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra
mayúscula correspondiente para denotar su transformada, por ejemplo:
£f(t)  F (s)

£g(t)  G(s)

£y(t)  Y (s)

Evaluarlas siguientes transformadas:
1. £k
Función constante para t  0
2. £t
Función identidad para t  0
3. £e kt 
Función exponencial para t  0
4. £senkt
Función seno para t  0
La transformada de Laplace corresponde a un operador lineal
£f (t )  g (t )   £f(t)  £g(t)

Resolver
1. £4  5t
2. £e3t  6sen3t
3. £t  4sen2t  5e 8t 
4. £sen 2t
Profesor: Jaime H. RamírezRios

Página 1

Teorema 1. Transformadas de algunas funciones básicas
1. £k 
3. £t n 

2. £t 

k
s

4. £e kt 

n!
s n1

5. £senkt 

1
s2
1
sk

6. £coskt 

k
s  k2
k
7. £senhkt  2 2
s k

s
s  k2
s
8. £coshkt  2 2
s k

2

2

Transformada de una función continua por tramos.
0, 0  t  3
t 3
2,

Evalúe £f(t) donde f (t )  

Teorema 2. Comportamiento de F (s) conformes  
Si f es continua por partes en (0, ) y de orden exponencial y F(s)  £f(t) entonces el
Lim F ( s)  0
s

Ejercicios del libro Ecuaciones diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Dennis
G. Zill. Michael R. Cullen. Séptima edición
Utilizar el teorema 1 para encontrar £f(t)
1. f(t)  2t 4
4. f(t)  7t  3
7. f(t)  (t  1)3
10. f(t)  t 2  e 9t  5
13. f(t)  4t 2 5sen3t
16. f(t)  cosh kt

2. f(t)  t 5
5. f(t)  t 2  6t  3
8. f(t)  (2t  1)3
11. f(t)  (1  e 2t ) 2
14. f(t)  cos 5t  sen2t
17. f(t)  e t  senht

0, 0  t  1
t 1
t,

20. f (t )  

 1, 0  t  1
t 1
 1,

22. f (t )  

t , 0  t  1
t 1
1,

24. f (t )  

19. f (t )  

21. f (t )  

23. f (t )  

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

3. f(t)  4t  10
6. f(t)  4t 2  16t 9
9. f(t)  1  e 4t
12. f(t)  (et  e t ) 2
15. f(t)  senhkt
18. f(t)  e -t  cosh t

0  t 1
 0,
t 1
2t  2,

4, 0  t  2
t2
0,
2t  1, 0  t  1
t 1
 0,

Página 2

sent , 0  t  
t 
 0,

0t 2
 0,
t 2
cos t ,

25. f (t )  

26. f (t )  

27.
1

28.

29.

30.

TRANSFORMADA INVERSA
El problema inverso:
Si F (s) representa la transformada de Laplace de una función f(t ) , es decir, £f(t)  F (s) , se
dice entonces que f (t ) es la transformada de Laplace inversa de F (s) y se escribe
f(t)  £ -1F(s)

Teorema 2. Algunas transformadas inversas
k
1. £ -1    k

s 
n!
3. £-1  n 1   t n
s 
k
5. £ -1  2 2   senkt
s  k 
k
7. £ -1  2 2   senhkt
s  k 
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

1
2. £ -1  2   t

s 
1  kt
4. £ -1 e
s  k 
s
6. £ -1  2 2   coskt
s  k 
s
8. £ -1  2 2   coshkt
s  k 
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1
a) £ -1  5 

Evalúe

b) £ -1 

1 

s  7

s 

2

La transformada de Laplace inversa corresponde a un operador lineal
£-1f (t )  g (t )   £-1f(t)  £-1g(t)

Resolver
 2s  6 

2
 s 4 

1. £ -1 




s 2  6s  9

 ( s  1)( s  2)( s  4) 

2. £ -1 

3. £ -1 ...