2 funciones Graficas jl

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

2. GRAFICA DE FUNCIONES
En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse muy
bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con ayuda de las cuales podremos
hacer un trazo rápido de las curvas pero sin recurrir (todavía) a los métodos del cálculo.
Con frecuencia la gráfica de dos funciones tienen la mismaforma y orientación, la única
diferencia entre ellas es que una de las dos es un desplazamiento paralelo de la otra.
Cualquier desplazamiento paralelo de una gráfica a otra se llama una transformación.
En esta sección discutiremos la forma en que tales transformaciones ocurren. Iniciamos
con las traslaciones verticales:
Sea f una función y c un número real, la suma de f + c es la función definidapor f(x)+c.
La gráfica de f + c es la gráfica de f trasladada |c| unidades – hacia arriba si c > 0 y
hacia abajo si c < 0.
Los siguientes ejemplos tienen como propósito el ilustrar las translaciones
verticales de una función.
Ejemplo 2.1
Dibuje la gráfica de f(x) = x2 – 1
Solución.
La gráfica de f(x) = x2 – 1 tiene la misma forma
de la gráfica f(x) = x2 (línea punteada) sólo que
ésta gráfica fuetrasladada 1 unidad hacia abajo.
y = x2 - 1

Ejemplo 2.2
Dibuje la gráfica de f ( x ) = x + 2

y=

x+2

Solución.
La gráfica de f ( x ) = x + 2 es la gráfica de
f ( x ) = x trasladada 2 unidades hacia arriba.

Ejemplo 2.3
Dibuje la gráfica de f(x) = x3 –2.
Solución.
La gráfica de f(x) = x3 – 2 es la gráfica de f(x)= x3
trasladada |-2| unidades hacia abajo.

y = x3

y = x3 - 2

1

Dr. José Luis DíazGómez

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

Ejemplo 2.4
y = - 16 − x 2 +4

Dibuje la gráfica de f ( x ) = − 16 − x 2 + 4
Solución.
La gráfica de f ( x ) = − 16 − x 2 + 4 es la gráfica
de f ( x ) = − 16 − x 2 trasladada |4| unidades hacia
arriba. La gráfica de f ( x ) = − 16 − x

2

y = - 16 − x 2

es una

semicircunferencia de centro (0,0) y radio 4.
2.1. Translaciones Horizontales.Si en una función f(x) la variable x se sustituye por x – c, el efecto sobre la gráfica de
f(x) es trasladar la curva una distancia c paralelamente al eje x, y en la dirección
positiva, porque si (m, n) son las coordenadas de un punto sobre la gráfica de y = f(x),
entonces el punto (m + c, n), que resulta de trasladar (m, n,) una distancia c en la
dirección de las x positivas, caerá sobre lagráfica de y = f(x – c).
Traslación horizontal
Sea f una función y c un número real, entonces la función fc definida por f(x-c)
representa una translación horizontal. La gráfica de fc es la gráfica de f trasladada |c|
unidades a la derecha si c > 0 y a la izquierda si c < 0
Los siguientes ejemplos tienen como objetivo el ilustrar el principio anteriormente
establecido.
Ejemplo 2.5
Dibuje la gráfica def(x) = (x – 2)2
Solución.
De acuerdo con el principio recién establecido,
puede obtenerse la gráfica de f(x) = (x-2)2
trasladando f(x) = x2 una distancia de |2| unidades
hacia la derecha.
Esta translación se logra reemplazando x – 2 por x
en f(x) = x2.

y = x2

y = (x-2)2

Ejemplo 2.6
Sea f(x) = |x|. Encuentre la función cuya gráfica se obtiene efectuando las siguientes
transformaciones a lagráfica de f: una translación horizontal de 3 unidades hacia la
izquierda y una translación vertical hacia arriba de 3 unidades.

2

Dr. José Luis Díaz Gómez

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

Solución:
Para trasladar f horizontalmente 3 unidades hacia la
izquierda reemplazamos en f(x) = |x| x por x + 3 y
obtenemos f(x) = |x + 3|. Para efectuar la traslación
vertical 3 unidades haciaarriba sumamos 3 a la última
ecuación. Por lo tanto la función pedida es f(x) = |x +
3| + 3 y su gráfica es la figura mostrada.

2.2. Contracciones y Expansiones Verticales.
Una contracción vertical de una curva, en una razón dada, significa que cada punto de la
curva se mueve en la dirección de las y hacia el eje x en esa razón; si la razón es 1:2,
cada punto se mueve hacia el eje x hasta un...