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Ini Inv, 2:a9 (2007)

Q-Q Plot Normal. Los puntos de posici´on gr´afica.
Sonia Castillo Guti´errez* y Emilio Dami´an Lozano Aguilera**

Departamento de Estad´ıstica e Investigaci´
on Operativa.
Universidad de Ja´en. Campus Las Lagunillas s/n, CP: 23071, Ja´en.
Correo electr´onico: socasti@ujaen.es

Resumen
En la construcci´on de los gr´aficos de probabilidad normal o Q-Q Plot Normal, intervienencomo elementos fundamentales los denominados ‘plotting positions’ o puntos de posici´on
gr´afica. En este trabajo, describimos la construcci´on de un gr´afico de probabilidad (y en
particular el Q-Q Plot Normal) y analizamos las definiciones de los puntos de posici´on gr´afica m´as relevantes que han sido introducidas a lo largo de la historia. Comprobamos que la
elecci´on de esos puntos influyeen el gr´afico, produciendo resultados sensiblemente distintos.

1.

Introducci´
on

El gr´afico probabil´ıstico normal nos permite comparar la distribuci´on emp´ırica de un conjunto de datos con la distribuci´on Normal. Por tanto, dicho gr´afico se puede considerar como
una t´ecnica gr´afica para la prueba de normalidad de un conjunto de datos.
La construcci´on del gr´afico de probabilidad normalse realizar´a a trav´es de los cuantiles de
la normal est´andar, de forma que aceptaremos la hip´otesis de normalidad de los datos, siempre
que los puntos en el gr´afico tengan un comportamiento “suficientemente rectil´ıneo”.
En el gr´afico de probabilidad son elementos fundamentales los conocidos como “puntos de
posici´on gr´afica”(plotting positions). Dedicamos parte del trabajo al an´alisis dedichos elementos, poniendo de manifiesto la diferencia existente entre las distintas propuestas de puntos de
posici´on gr´afica que han sido introducidas a lo largo de la historia.
El objetivo de este trabajo consiste en comprobar la diferencia que se produce al generar los
gr´aficos de probabilidad normal, en funci´on de la elecci´on que se haga de los puntos de posici´on
*

Doctoranda
Directordel Trabajo de Investigaci´
on “Consideraciones sobre los Puntos de Posici´
on Gr´
afica en los Gr´
aficos
de Probabilidad” del Programa de Doctorado “Aproximaci´
on y T´ecnicas Estad´ısticas”
**

1

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gr´afica, quedando claro que dichos puntos son un elemento clave para los gr´aficos probabil´ısticos
normales.

2.

Gr´
afico de probabilidad (Q-Q Plot)

El gr´afico deprobabilidad se constituye en un m´etodo gr´afico que nos permite comparar la
distribuci´on de un conjunto de datos con una distribuci´on especificada.
Supongamos que disponemos de un conjunto de observaciones xi , (i = 1, 2, ..., n).
Sea F (x) la funci´on de distribuci´on de una distribuci´on especificada. El gr´afico de probabilidad se construye siguiendo los siguientes pasos:
1) Ordenar lasobservaciones de menor a mayor en la forma
x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n)
2) Determinar los valores

i − 0,5
i = 1, 2, ..., n.
n
Si por Qx (p) notamos al cuantil de orden p (0 < p < 1) de las observaciones, tenemos que:
pi =

x(i) = Qx (pi ) i = 1, 2, ..., n.
3) Determinar los cuantiles de orden pi , i = 1, 2, ..., n de la distribuci´on te´orica representada
por la funci´on de distribuci´on F, es decir:
Qt (pi ) =F −1 (pi ) i = 1, 2, ..., n.
4) Representar el conjunto de puntos (Qt (pi ), Qx (pi )), i = 1, 2, ..., n, o lo que es lo mismo, los
puntos (F −1 (pi ), x(i) ), i = 1, 2, ..., n.
En el caso en que F represente la funci´on de distribuci´on de una Normal, al gr´afico de probabilidad resultante lo denominaremos gr´afico probabil´ıstico normal o Q-Q Plot Normal.
Si la distribuci´on te´orica constituyeuna buena aproximaci´
on de la distribuci´on emp´ırica,
cabr´ıa esperar que los cuantiles de los datos est´en muy pr´oximos a los de la distribuci´on te´orica y, por tanto, los puntos del gr´afico se dispondr´ıan muy pr´oximos a la bisectriz del primer
cuadrante. En otros casos, puede ocurrir que los datos no est´en pr´oximos a la recta y = x,
sino que simplemente los puntos se posicionen de...