2o Prueba Al Lin SOC1 Pauta

Prueba 2
Algebra Lineal
Nombre: ………………………………………….............. Nota: …………………………

TIEMPO: 90 minutos
OBSERVACIONES:

Cada respuesta debe ser justificada con
claridad.
Durante el desarrollo de la prueba no se
responde ningún tipo de pregunta.
Ningún estudiante puede salir del aula
durante el transcurso de la prueba.

PREGUNTAS PUNTAJE
PUNTOS
MAXIMO OBTENIDOS
1

2+6

2

6

3

6+2

4

4+4

5

2+2Total

Con la mano en el corazón responda: ¿ha
estado estudiando?

LEA Y FIRME AL FINAL DEL CÓDIGO DE HONOR
El alumno que sea sorprendido usando o intentando utilizar procedimientos ilícitos durante el
desarrollo de una prueba, será calificado con la nota mínima (1.0) en dicha prueba .En caso de
reincidencia en el transcurso de sus estudios, se aplicarán sanciones adicionales, las que podrán
llegarhasta su eliminación de la Universidad
………………………………………………………………………………………
FIRMA

1. Suponga que el clima de cierta cuidad es Despejado, nublado o lluvioso. Como resultado de
un amplio registro se ha determinado que la probabilidad de que se dé un día lluvioso
después de un día despejado es 1 , y la probabilidad de que se tenga un día lluvioso después
de otro día lluviosos es 0,7, y la probabilidadde que se de un día despejado después de un día
nublado es 0,2, y la probabilidad que se dé un día nublado después de otro día nublado es 0,3
y la probabilidad de que se de un día despejado después de un día lluviosos es nula.
a) Determine la matriz T de transición.
b) Encuentre un vector de estado estacionario.
Desarrollo
 D N LL



 0 0,2 0 


D
 0 0,2 0
 0 0,3 0,3 N   T   0 0,30.3 
 1 0,5 0,7 




 1 0,5 0,7 LL 



(2pto)

b) Sea X vector estacionario.
TX  X  (T  I ) X  0 (1pto)
  1 0,2
0 0    1 0,2
0    1 0,2
0   1  0,2 0 

 
 
 

x  0,2 y  1 / 5 y
 0 0,3  1 0,3 0    0  0,7 0,3    0  0,7 0,3    0  7 / 3 1  
z  7 / 3y
1
 1
 0
 0

0
,
5
0
,
7

1
0
0
,
5

0
,
3
0
,
7

0
,
3
0
0









(3 pto)
X esvector de probabilidad entonces:

x  y  z  1 / 5 y  y  7 / 3 y  1 (1 pto )
 y  15 / 53, x  3 / 53, z  35 / 52
El vector estacionario es X  (3 / 53,15 / 53, 35 / 53 ) (1 pto).

2.- Demuestre:
a2
b2
c2

a 1
b 1  (b  a)( c  a)(b  c)
c 1

Desarrollo:
a2
b2
c2

a 1 C12 ( a)
0
a 1 C 23 ( a)
0
a
1
b 1

b 2  ba b 1

b 2  ba b  a 1  (b 2  ba)( c  a)  (c 2  ca )(b  a) 
c 1
c 2 ca c 1 (1 pto) c 2  ca c  a 1 (1 pto)
Calcular Deter min antea (1 pto)
 b(b  a)( c  a)  c(c  a)(b  a)
 (b  a)( c  a)(b  c). Re ducir y llegar (3 pto)

3.i) Utilice la regla de Cramer para determinar todos los valores (¿si existen?) de a para los
cuales el sistema lineal
x  2 y  2 z  1
2 x  y  a 2 
3x  y  z  1

tenga solución
ii) ¿ Existe a real tal que en una solución elvalor de y  1. ?
i) Primero calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes:

1 2
2
  2  1 0  1(1)  2(2)  2(1)  7 ( 1pto)
3 1 1
Las soluciones son:

x

x



1
2 2
2
a
1 0
1 1 1
7



y
1
, y

7


1 1
2
2
2 a
0
3 1 1
7



 7a 2  2
z
z

7


(1pto) por obtener x, (1 ptos) por obtener y , (1 ptos) por obtener z.
  1  7a 2  2 6  7a 2 

,
,
) .
7
7
6




(2 ptos) por la solución S  (
ii)

 7a 2  2
5
5
(2ptos)
 1  a 2   a  
7
7
7

1 2
1
2 1 a 2
3 1 1
7



6  7a 2
7

4.a) Dados los puntos P(1,1,2), Q(2,-1,3), R(0, 1, 2), determine el plano P1 que los contiene.
Determine la ecuación de un plano que pasa por el punto P(2,4,3) y sea paralelo al
plano P1 .
b) Determine una recta que pasa por el punto Q(2,5,3) y esperpendicular al plano de
ecuación 2x  3 y  4z  7  0 .
a) Desarrollo:
i
j k



v  PQ  (1,2 ,1) , u  PR  (1,0 , 0)  N  v  u  1  2 1  i (0)  j (1)  k (2)  (0,1,2) (2ptos)
1 0 0

La ecuación del plano la obtenemos realizando el siguiente producto punto:

N  ( x  1, y  1, z  2)  0   y  2 z  5  y  2 z  5 (1pto)

Por lo tanto la ecuación del plano pedida es:
y  2 z ...