3 Rectes

Matemàtiques 𝟏𝒓BAT C.T: TEMA 𝟑

❶
❷
❸
❹
❺
❻
❼

Definició de recta i elements que la determinen
Diferents formes d’expressió de la recta
Determinació de rectes
Rectes particulars
Posició relativa entre elements del pla
Simetria i feix de rectes
Mètrica del pla

Una recta és un conjunt infinit de punts alineats.

❶ Per dos punts donats 𝑨 (𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ) 𝑖 𝑩 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 passa una única recta.http://acorral.es/recta/

❷ Un punt 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐 ) i una direcció determinen una única recta.
La direcció me la pot donar un vector 𝒖 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 que tingui la mateixa
direcció que la recta. A aquest vector se l’anomena vector director de la
recta.

❸ Un punt 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐 ) i una direcció determinen una única recta.
La direcció me la pot donar la pendent de la recta 𝒎, o la tangent de
l’angle que forma amb l’eix OXpositiu.

𝒕𝒈𝜶 = 𝒎

Pendent positiva

 La inclinació 𝜶 és un angle entre
0° i 90°.
 En aquest cas la pendent 𝒎 és
positiva:
𝒎 = 𝒕𝒂𝒈 𝟒𝟓° = 𝟏
 La recta té tendència ascendent.

Pendent negativa

 La inclinació 𝜶 és un angle entre
90° i 180°.
 En aquest cas la pendent 𝒎 és
negativa:
𝒎 = 𝒕𝒂𝒈 𝟏𝟑𝟓° = −𝟏
 La recta té tendència descendent

❶ Com donats 2 punts d’una recta trobar 𝒎 (rectaascendent)
𝟒−𝟐
𝒎=
=𝟐
𝟐−𝟏
𝒕𝒂𝒈 𝟔𝟑, 𝟒𝟑° = 𝟐
En general, donats dos punts qualsevol:

𝑨 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
𝑩 = (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒎=
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

❷ Com donats 2 punts d’una recta trobar 𝒎 (recta descendent)
𝟐−𝟒
𝒎=
= −𝟐
−𝟏 − (−𝟐)
𝒕𝒂𝒈 𝟏𝟏𝟔, 𝟓𝟕° = −𝟐
Donats dos punts qualsevol:
𝑨 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
𝑩 = (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒎=
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

❶Dos punts
𝑦 = 𝒎𝑥 + 𝒏

Equació de la recta

❷Un punt i una
pendent
𝒎 pendent

𝒏 ordenada al’origen
A partir d’ara l’anomenen
equació explícita de la recta

 Troba la recta que passa per aquests dos punts 𝑷 𝟏, 𝟐 , 𝑸 𝟑, 𝟒

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏

𝟒−𝟐
𝒎=
=𝟏
𝟑−𝟏
𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟐 → 𝟐 = 𝟏 + 𝒏
𝒏=𝟐−𝟏=𝟏

𝒚=𝒙+𝟏

 (𝟑, 𝟒)

 (𝟏, 𝟐)

 L'equació d'una recta és una expressió matemàtica que serveix per
decidir quins punts del plànol pertanyen a ella i quins punts no.

 L’equació d’una recta també és una relació entreles coordenades
(𝒙, 𝒚) de tots i cadascun dels seus punts.

𝒚=𝒙+𝟏
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑

Un punt i un vector director

𝑨(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 )

Equació vectorial de la recta

𝒖 = (𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 )

Veiem que una mateixa recta es pot expressar de diferents maneres,
i cadascuna rep un nom específic, però totes tenen en comú la paraula
equació.

 A partir de l’equació vectorial deduirem la resta de maneres en
que podemexpressar una recta
𝟕 equacions diferents per la recta

❶
❷
❸
❹
❺
❻
❼

Equació vectorial
Equació paramètrica
Equació contínua
Equació general o implícita
Equació explícita
Equació punt-pendent
Equació segmentària

Important entendre l’equació vectorial tota la resta surten
d’aquesta equació!!!

 Em diuen que la recta que busco
passa pel punt 𝑨 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 i té la
mateixa direcció que el vector
𝒖 = 𝒖𝟏 ,𝒖𝟐 .
 Per tant ja puc dibuixar la recta
que busco que és la recta 𝒓 .

𝒖 = (𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 )


𝑨(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 )

𝒓

 Per equipol·lència trasllado el
vector 𝒖 = 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 sobre la
recta.
 De tots els infinits punts de la
recta anomeno 𝑷 = (𝒙, 𝒚) a un
punt qualsevol d’aquesta recta.


𝑷 = (𝒙, 𝒚)


𝑨(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 )

𝒖 = 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐

 Ens plantegem el següent
esquema de vectors.
❶ Suma de vectors gràficament:

𝑶𝑷 = 𝑶𝑨 +𝐴𝑃
❷ El vector 𝐴𝑃 equival a 𝑘 · 𝑢. En
aquest cas concret 𝑘 = 2.


𝑷 = (𝒙, 𝒚)
𝑨(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 )


𝒖 = 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐


𝑶(𝟎, 𝟎)

𝑶𝑷 = 𝑶𝑨 + 𝑘 · 𝑢
❸ Si es substitueixen els vectors per les seves components s’obté:

𝑶𝑷 = 𝑶𝑨 + 𝑘 · 𝑢 → 𝑷 − 𝑶 = 𝑨 − 𝑶 + 𝑘(𝑢1 , 𝑢2 )
𝒙, 𝒚 = 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 + 𝑘(𝑢1 , 𝑢2 )
𝒌 s’anomena paràmetre i és un nombre real

 Escriu l’equació vectorial de la recta que passa pel punt A i té el
vector dedirecció 𝒗, on:
𝒂) 𝑨 𝟑, −𝟓 , 𝒗 = 𝟐, 𝟗

𝒃) 𝑨 𝟒, 𝟎 , 𝒗 = −𝟐, 𝟓

𝒙, 𝒚 = 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 + 𝑘(𝑢1 , 𝑢2 )
𝑥, 𝑦 = 3, −5 + 𝑘(2,9)
𝑥, 𝑦 = 4,0 + 𝑘(−2,5)

 Escriu l’equació vectorial de la recta sabent que passa pels punts
𝑷𝟏 (𝟏, 𝟑) 𝒊 𝑷𝒐 (𝟎, −𝟐)

Calculem el vector director  vector director 𝑣 = 𝑃1 𝑃0 = (−1, −5)

𝑥, 𝑦 = 0, −2 + 𝑘(−1, −5)

 Si igualem els components corresponents en l’equació vectorial...