3 Relaciones Y Funciones

RELACIONES Y FUNCIONES

1.1.

´ Y EJEMPLOS
DEFINICION

Definici´
on 1.1.1. Sean A, B conjuntos, definimos el “par ordenado A coma B”, denotado
(A, B) como el conjunto (A, B) = {{A}, {A, B}}.
Observaci´
on 1.1.1. Al elemento A lo llamamos “primer elemento del par ordenado” o
tambi´en “abscisa”.
Al elemento B lo llamamos “segundo elemento del par ordenado” o tambi´en “ordenada”.
Ejemplo 1.1.1. Esevidente que (2, 3) = {{2}, {2, 3}} ̸= (3, 2) = {{3}, {3, 2}}.
Definici´
on 1.1.2. Sean A, B conjuntos, definimos el producto cartesiano de A con B
denotado por A × B, como el conjunto tal que
A × B = {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Ejemplo 1.1.2. Si A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} entonces
A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
B × A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} .Observaci´
on 1.1.2.
a) n(A × B) = n(A) · n(B).
b) En general A × B ̸= B × A.
c) A × B = ∅ ⇔ (A = ∅) ∨ (B = ∅).
d) A × B ̸= ∅ ⇔ (A ̸= ∅) ∧ (B ̸= ∅).
Definici´
on 1.1.3. Sean A, B conjuntos, definimos una relaci´on R de A a B como cualquier
subconjunto de A × B.
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

Observaci´
on 1.1.3. Nos interesan las relaciones que se determinan mediantecierta ley de
formaci´on, as´ı, una relaci´on R de A a B es
R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))}
donde p((a, b)) es una f´ormula proposicional dada.
Ejemplo 1.1.3. Considere los conjuntos A = {1, 2, 3},
por extensi´
on las siguientes relaciones

B = {1, 2, 3, 4}, N ; determine

a) R1 ⊆ A × B = {(a, b) / a + b es un n´
umero par}.
{
}
b) R2 ⊆ A × B = (x, y) / x2 + y 2 > 6 .
c) R3 ⊆ N × N = {(a, b) / a +2b = 15}.
√


2x+y


3
d) R4 = (x, y) /
−1=0 .


2
Soluci´
on. Despu´es de realizar A × B y N × N obtenemos
R1 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3,1), (3, 3)}
R2 = {(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}
R3 = {(1, 7), (3, 6), (5, 5), (7, 4), (9, 3), (11, 2), (13, 1)}
R4 = {(1, 10), (2, 8), (3, 6), (4, 4), (5, 2)} .

1.2.

´ INVERSA
DOMINIO, RECORRIDO YRELACION

Definici´
on 1.2.1. Sea R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))} una relaci´on, definimos:
a) Dominio de la relaci´on R, denotado Dom(R), al conjunto tal que
Dom(R) = {a ∈ A / ∃b ∈ B tal que (a, b) ∈ R} .
b) Recorrido de la relaci´on R, denotado Rec(R), al conjunto tal que
Rec(R) = {b ∈ B / ∃a ∈ A tal que (a, b) ∈ R} .
c) Relaci´on inversa de R, denotada R−1 , al conjunto tal que
R−1 ⊆ B × A = {(p,q) / (q, p) ∈ R} .

Observaci´
on 1.2.1.
a) El dominio de una relaci´on es el conjunto formado por las primeras componentes de
los pares de la relaci´on.

´
HERALDO GONZALEZ
SERRANO

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b) El recorrido de una relaci´on es el conjunto formado por las segundas componentes
de los pares de la relaci´on.
c) La relaci´on inversa de una relaci´on R esta formada por los pares ordenados “rec´ıprocos” delos pares ordenados de R.

Ejemplo 1.2.1. En el ejemplo anterior
Dom(R1 ) = {1, 2, 3} ,

R2−1 = {(3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)} .

Proposici´
on 1.2.1. R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))} una relaci´
on, entonces:
(
)−1
a) R−1
= R.
b) Dom(R) ⊆ A, Rec(R) ⊆ B.
(
)
(
)
c) Dom(R) = Rec R−1 , Rec(R) = Dom R−1 .
La demostraci´on queda propuesta.

1.3.

´ DERELACIONES
COMPOSICION

Definici´
on 1.3.1. Sean R ⊆ A × B, S ⊆ B × C dos relaciones, entonces existe la relaci´on
compuesta de R con S, denotada S ◦ R tal que
S ◦ R ⊆ A × C = {(x, z) / ∃ y ∈ B tal que (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S} .

Ejemplo 1.3.1. Sean
R ⊆ A × B = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)}

,

S ⊆ B × C = {(a, x), (a, y), (b, y)}

dos relaciones con A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e}, C = {x, y,z, w, p}, entonces
a) S ◦ R = {(1, x), (1, y), (2, y)}.
b) (S ◦ R)−1 = {(x, 1), (y, 1), (y, 2)}.
c) R−1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (c, 4)}.
d) S −1 = {(x, a), (y, a), (y, b)}.
e) R−1 ◦ S −1 = {(x, 1), (y, 1), (y, 2)}.
Ejemplo 1.3.2. Sean R ⊆ A × B, S ⊆ B × C dos relaciones. Demuestre que (S ◦ R)−1 =
R−1 ◦ S −1 .
Soluci´
on. Debemos demostrar:

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE...