37394 8479 2 Matrices Y Vectores

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Matrices
⎡ a11 a12
⎢a
⎢ 21 a22
⎢ M
M
⎢
⎣an1 an 2

• Matriz: Conjunto de elementos
ordenados en filas y columnas
• Los elementos pueden ser números
reales o complejos
• En este curso solo se consideran
matrices con elementos reales

L a1n ⎤
L a2 n ⎥⎥
O M ⎥
⎥
L ann ⎦

• Las matrices son denotadas por letras mayúsculasdel alfabeto (A, B, C, etc.)
• A cada matriz esta asociado un número de filas y columnas, por ejemplo: A de m x n, es
decir, la matriz A de m renglones y n columnas
• Notación: A = [aij ]
• Dos matrices son iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y los elementos
correspondientes son iguales.

Matrices especiales
Triangular Superior
⎡ a11
⎢0
⎢
⎢ M
⎢
⎣0

a12
a22
M
0

a1n ⎤
L a2 n ⎥⎥
MM ⎥
⎥
L amn ⎦
K

Triangular Inferior
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣ a m1

0 ⎤
L 0 ⎥⎥
M
M ⎥
⎥
L a mn ⎦

0

K

a22
M
am 2

Simétrica

Identidad
⎡1 0 K 0 ⎤
⎢0 1 L 0 ⎥
⎢
⎥
⎢M M O M⎥
⎢
⎥
⎣0 0 L 1 ⎦

⎡ a11
⎢a
⎢ 12
⎢ M
⎢
⎣ a1n

a12
a22
M
a2 n

K a1n ⎤
L a2 n ⎥⎥
O M ⎥
⎥
L ann ⎦

Diagonal
⎡ a11
⎢0
⎢
⎢ M
⎢
⎣0

0
a22
M
0

0 ⎤
L 0 ⎥⎥
M
M ⎥
⎥
L amn ⎦
K

Cero
⎡0 0 K 0 ⎤
⎢0 0 L 0 ⎥
⎢
⎥
⎢M M O M⎥
⎢
⎥
⎣0 0 L 0 ⎦

MatrizTranspuesta
⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣ am1
ALGEBRA LINEAL

a12
a 22
M
am 2

a1n ⎤
L a2 n ⎥⎥
M
M ⎥
⎥
L a mn ⎦
K

• La matriz transpuesta se obtiene cuando se
intercambian las filas por las columnas.
• La transpuesta de la matriz A de orden
m x n, nos da una matriz de orden n x m
• Una matriz es simétrica si A = AT
1

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

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⎡ a11
⎢a
T
A = ⎢ 12
⎢ M
⎢
⎣ a1n

a21
a 22

M
a2 n

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K am1 ⎤
L a m 2 ⎥⎥
M
M ⎥
⎥
L amn ⎦

Ejemplos

Triangular
superior

Triangular
inferior

Diagonal

Identidad

Simétrica

⎡1 3 − 4 ⎤
⎢0 6 2 ⎥
⎥
⎢
⎣⎢0 0 − 5⎦⎥

0 0⎤
⎡ 4
⎢ − 2 − 1 0⎥
⎥
⎢
5 3⎥⎦
⎣⎢ 7

⎡2 0 0⎤
⎢0 6 0⎥
⎥
⎢
⎣⎢0 0 5⎥⎦

⎡1 0 0⎤
⎢0 1 0 ⎥
⎥
⎢
⎢⎣0 0 1⎥⎦

⎡1 4 5 ⎤
⎢ 4 6 3⎥
⎥
⎢
⎣⎢5 32⎥⎦

Matriz Transpuesta
⎡1 3 − 4 ⎤
A = ⎢⎢5 6 2 ⎥⎥
⎢⎣7 8 − 5⎥⎦

⎡1 5 7⎤
AT = ⎢⎢ 3 6 8 ⎥⎥
⎢⎣− 4 2 − 5⎥⎦

Operaciones elementales
Suma de matrices
Para poder realizar lo suma de dos Matrices A y B es necesario que estas sean del MISMO
ORDEN y cada elemento de lo primera matriz se sumará con el correspondiente elemento
de la segunda matriz aclararemos lo anterior con la siguiente definición:
A + B = [ aij ]+ [bij ]

Ejemplo: dadas las Matrices A y B efectuar su suma.
⎡ 3 4 9 4⎤
A=⎢
⎥
⎣2 6 8 1 ⎦

ALGEBRA LINEAL

⎡1 2 3 0 ⎤
B=⎢
⎥
⎣ 4 5 8 3⎦

2

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M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

⎡ 3 + 1 4 + 2 9 + 3 4 + 0⎤ ⎡4 6 12 4⎤
A+ B = ⎢
⎥
⎥=⎢
⎣2 + 4 6 + 5 8 + 8 1 + 3 ⎦ ⎣6 11 16 4⎦
Propiedades:
( [aij ]+ [bij ] ) + [cij ] = [ aij ] + ( [bij ] + [cij ] )

(A+B)+C = A+(B+C)

[aij ] + [bij ] = [bij ] + [aij ]

A+B = B+A

asociativa

conmutativa

Producto de una matriz por un escalar
Una Matriz de orden m x n puede ser multiplicada por un número diferente de cero dando
como resultado otra matriz del mismo orden:
El producto de una Matriz A de orden m x n por una constante no nula α es la Matriz αAde
orden m x n que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por la constante k dando
como resultado:

α A = α aij
⎡ 2 − 4⎤
Si α = 3 y A = ⎢
⎥
⎣3 5 ⎦

⎡6 − 12⎤
15 ⎥⎦

α A=⎢
⎣9

Propiedades

α ( A + B ) = αA + α B
(α + β )A = αA + βA
(αβ )A = α (βA)
con α ∈ ℜ, β ∈ ℜ

distributiva
asociativa

Multiplicación de matrices
Para multiplicar dos matrices A y B es REQUISITO ( necesario ) que el númerode
columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz, obteniendo
una Matriz resultante que estará formada con el número de filas de la primera Matriz y con
el número de columnas de la segunda Matriz. Si C es el producto de A * B entonces:
A* B = C

m×n

ALGEBRA LINEAL

n× p

3

m× p

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M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

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