3Limites 1
Páginas: 10 (2310 palabras)
Publicado: 22 de junio de 2015
Cálculo
3.
Límites
Límites
Los matemáticos suelen resumir esto diciendo
que “el límite de f(x) al tender x hacia a es f(a)” o
en la jerga correspondiente
lim f ( x ) = f (a )
x →a
con lo que regresamos a la idea intuitiva que
cuando x se acerca a “a”, f(x) se acerca a f(a)
como su valor LIMITE
Pero nunca podemos acercarnos lo
suficiente para ver efectivamente la llegada
de x al punto a y almismo tiempo la
llegada de f(x) a f(a)!!!. En lugar de eso
debemos contentarnos con el significado
LÓGICO oficial de lim f ( x ) = f (a ) , que es
x →a
SOLAMENTE la existencia de una
máquina límite apropiada. Entonces, con
esta
máquina
límite
garantizada,
PODEMOS mostrar que es posible llegar
“tan cerca de f(a) como sea necesario” (lo
que también se dice “dentro de cualquier
margen de toleranciaε”) acercando x lo
suficiente al valor a (haciendo la distancia
entre x y a menor que δ(ε)). Esto no es
exactamente la idea intuitiva que tenemos,
pero más no podemos hacer.
Los conceptos de límite, derivada e integral constituyen la base fundamental de la rama de
las matemáticas conocida con el nombre de cálculo infinitesimal.
39
Unidad uno
Cálculo
3.1 Límite de una sucesión.
En estoslímites es necesario hacer las siguientes consideraciones:
•
Si tomamos una cantidad variable x a la cual se le asignan los valores siguientes,
se forma una sucesión de números crecientes: 1, 2, 3, 3.5, 3.99, 3.999, 3.9999…
la misma variable puede tomar los valores decrecientes: 5, 4.2, 4.1, 4.001, 4.00001,
4.00001
En este ejemplo, la variable x tiende a una constante “a”, en este caso a un valor de4,
como un límite. Se dice que se aproxima al límite 4, que x tiende a 4, y esto se representa
como:
x → 4 ó lím ( x) = 4
•
Se dice que la variable x se hace infinita cuando llega ser mayor en valor absoluto,
que cualquier número dado por grande que sea.
La sucesión de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,………...n, n+1 no tiene límite, pero
como se mantiene mayor que un número natural cualquiera,por grande que se tome, se
indica para estos casos que la sucesión tiende a infinito positivo ( + ∞ )
Si los valores de x se conservan positivos, se escribe x → +∞ .
Si los valores de x se conservan negativos, se escribe x → −∞
•
Los símbolos ∞,+∞,−∞ no deben considerase como números sino que se utilizan
para indicar un cierto comportamiento de una variable o de una función y se
emplean sólo porconveniencia.
•
Cuando una variable toma valores más y más pequeños y se acerca a cero,
decimos que la variable es infinitamente pequeña. Esto se expresa así:
x→0
ó
lím ( x) = 0
Por ejemplo:
1, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1 0.01, 0.001, 0.0001……en el cual aceptamos que su valor
tiende a cero.
40
Cálculo
Límites
3.2 Límite de una función.
Este límite nos permite analizar el comportamiento deuna variable cuando su valor se
aproxima a una constante.
Por ejemplo:
Si tenemos la función y = x + 1 y tomamos una sucesión de valores crecientes de x que
tiendan a 3 y otra sucesión de valores decrecientes que también tiendan a 3, y hallamos
los valores de la función (y) para los valores de estas sucesiones, tendremos:
3
x
y
2
3
2.9
3.9
2.99
3.99
2.999
3.999
3
4
3.001
4.001
3.01
4.013.1
4.1
4
5
En este caso decimos que el límite de la función y = x + 1 tiene un valor de 4 cuando x
tiende o se aproxima a 3:
Lím ( x + 1) = 4
x →3
3.3 Definición de límite de una función.
Cuando una variable “x” se aproxima cada vez más y más a una constante “a”, de tal
manera que la diferencia x − a , en valor absoluto, puede ser tan pequeña como se quiera,
se dice que la constante “a” es ellímite de la variable “x”.
Se expresa:
x→a
ó
también lím( x) = a
x→a
41
Unidad uno
Cálculo
3.4 Propiedades de los límites
La resolución de problemas sobre límites, no sólo puede hacerse por tabulación
(aproximando la variable x hacia algún valor, para observar hacia qué valor se próxima la
función), sino también por una serie de proposiciones que permiten resolver por
sustitución...
3.
Límites
Límites
Los matemáticos suelen resumir esto diciendo
que “el límite de f(x) al tender x hacia a es f(a)” o
en la jerga correspondiente
lim f ( x ) = f (a )
x →a
con lo que regresamos a la idea intuitiva que
cuando x se acerca a “a”, f(x) se acerca a f(a)
como su valor LIMITE
Pero nunca podemos acercarnos lo
suficiente para ver efectivamente la llegada
de x al punto a y almismo tiempo la
llegada de f(x) a f(a)!!!. En lugar de eso
debemos contentarnos con el significado
LÓGICO oficial de lim f ( x ) = f (a ) , que es
x →a
SOLAMENTE la existencia de una
máquina límite apropiada. Entonces, con
esta
máquina
límite
garantizada,
PODEMOS mostrar que es posible llegar
“tan cerca de f(a) como sea necesario” (lo
que también se dice “dentro de cualquier
margen de toleranciaε”) acercando x lo
suficiente al valor a (haciendo la distancia
entre x y a menor que δ(ε)). Esto no es
exactamente la idea intuitiva que tenemos,
pero más no podemos hacer.
Los conceptos de límite, derivada e integral constituyen la base fundamental de la rama de
las matemáticas conocida con el nombre de cálculo infinitesimal.
39
Unidad uno
Cálculo
3.1 Límite de una sucesión.
En estoslímites es necesario hacer las siguientes consideraciones:
•
Si tomamos una cantidad variable x a la cual se le asignan los valores siguientes,
se forma una sucesión de números crecientes: 1, 2, 3, 3.5, 3.99, 3.999, 3.9999…
la misma variable puede tomar los valores decrecientes: 5, 4.2, 4.1, 4.001, 4.00001,
4.00001
En este ejemplo, la variable x tiende a una constante “a”, en este caso a un valor de4,
como un límite. Se dice que se aproxima al límite 4, que x tiende a 4, y esto se representa
como:
x → 4 ó lím ( x) = 4
•
Se dice que la variable x se hace infinita cuando llega ser mayor en valor absoluto,
que cualquier número dado por grande que sea.
La sucesión de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,………...n, n+1 no tiene límite, pero
como se mantiene mayor que un número natural cualquiera,por grande que se tome, se
indica para estos casos que la sucesión tiende a infinito positivo ( + ∞ )
Si los valores de x se conservan positivos, se escribe x → +∞ .
Si los valores de x se conservan negativos, se escribe x → −∞
•
Los símbolos ∞,+∞,−∞ no deben considerase como números sino que se utilizan
para indicar un cierto comportamiento de una variable o de una función y se
emplean sólo porconveniencia.
•
Cuando una variable toma valores más y más pequeños y se acerca a cero,
decimos que la variable es infinitamente pequeña. Esto se expresa así:
x→0
ó
lím ( x) = 0
Por ejemplo:
1, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1 0.01, 0.001, 0.0001……en el cual aceptamos que su valor
tiende a cero.
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Límites
3.2 Límite de una función.
Este límite nos permite analizar el comportamiento deuna variable cuando su valor se
aproxima a una constante.
Por ejemplo:
Si tenemos la función y = x + 1 y tomamos una sucesión de valores crecientes de x que
tiendan a 3 y otra sucesión de valores decrecientes que también tiendan a 3, y hallamos
los valores de la función (y) para los valores de estas sucesiones, tendremos:
3
x
y
2
3
2.9
3.9
2.99
3.99
2.999
3.999
3
4
3.001
4.001
3.01
4.013.1
4.1
4
5
En este caso decimos que el límite de la función y = x + 1 tiene un valor de 4 cuando x
tiende o se aproxima a 3:
Lím ( x + 1) = 4
x →3
3.3 Definición de límite de una función.
Cuando una variable “x” se aproxima cada vez más y más a una constante “a”, de tal
manera que la diferencia x − a , en valor absoluto, puede ser tan pequeña como se quiera,
se dice que la constante “a” es ellímite de la variable “x”.
Se expresa:
x→a
ó
también lím( x) = a
x→a
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Unidad uno
Cálculo
3.4 Propiedades de los límites
La resolución de problemas sobre límites, no sólo puede hacerse por tabulación
(aproximando la variable x hacia algún valor, para observar hacia qué valor se próxima la
función), sino también por una serie de proposiciones que permiten resolver por
sustitución...
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