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ESTADISTICA DESCRIPTIVA III
Medidas de Dispersión o Variabilidad
Hemos visto que cuando tenemos un grupo grande de números para ser
analizados alguna de las medidas de tendencia central nos dan alguna
idea de las características de estos números, por ejemplo veamos estos
cuatro grupos de números
a)
b)
c)
d)

10, 10, 10, 10, 20,30, 30, 30,30.
20, 22, 21, 20,20, 19, 18, 20,20.
1, 4, 6, 8, 20, 32,34, 36,39.
10, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28,30.

Efectuando un análisis encontramos que para los cuatro grupos la
media es la misma 20, y la mediana también 20, pero aún así existen
diferencias entre ellos. ¿Qué nos podrá hacer que nos demos
cuenta de esas diferencias?
Una mirada más profunda, nos permitirá ver que ellos difieren en como es
que están dispersos, separados o distribuidos respecto a lamedia.
En el grupo (b) la mayoría de los números esta muy cerca a la media. En el
grupo (c) existe una mayor variación entre los números y la media.
Tener una información más completa de estos datos numéricos la
podremos obtener mediante la medición de estas Variaciones.

Rango o Recorrido
El Rango denotado por la letra R, no es más que la diferencia entre el
Mayor Valor y el Menor Valor de lasvariables existentes en el conjunto
de datos. Si lo colocamos en una formula será:
R = Vmáx. - Vmin.
Para el caso del grupo (a), la diferencia será entre 30 y 10, luego se tendrá
un rango de 20.
En el grupo (b) la diferencia será entre 22 y 18, y el rango será igual a 4.
Para el grupo (c), tendremos que el rango es 38, pues los valores son 39 y
1.
Y para el grupo (d), el rango lo obtenemos en ladiferencia entre 30 y 10,
siendo esta igual a 20.
Otro ejemplo, durante el mes de enero, ocho vendedores de aparatos
electrodomésticos de la empresa XYZ vendieron el siguiente número de
ventiladores: 5, 11, 8, 14, 8, 11, 16,11. Luego el Rango de unidades
vendidas será:

R = 16 - 5 = 11.0 unidades
Normalmente al efectuar el reporte de la medida de variabilidad este se
efectúa con un dígito adicionalal nivel original de medición.
Si deseáramos hallar el rango para datos agrupados tendremos que
emplear la siguiente formula:
R = Ls (A) - Li (B)
Li = Limite exacto o frontera inferior
Ls = Limite exacto o frontera superior
Desviación Media (DM)
Consiste en la media de los valores absolutos de las diferencias entre las
variables y la media aritmética. Su formula matemática es:
∑|

|
̅|

∑|Calculemos la desviación media para los datos empleados en el rango ,
primero hallaremos la media aritmética, que en este caso es 10.5, para
luego hallar los valores individuales de X - u , sus valores absolutos y la
sumatoria de estos, lo cual nos da un valor de 21.0, aplicando la formula
tendremos :
∑ |

|

Con este resultado podemos concluir que, en promedio, las ventas por
vendedor difieren en 2.6ventiladores de la media del grupo, sea más o
menos.
También podremos calcular la DM para un conjunto de datos Agrupados
mediante las siguientes formulas
∑ |

|

̅|

∑ |

Varianza y Desviación Estándar
La varianza es semejante a la DM en vista de que también es una
diferencia de cada una de las variables y la media de ese grupo, la
diferencia se encuentra en que cada una de las diferencias eselevada al
cuadrado y luego se efectúa una sumatoria de estas, la formula para una
población es :
∑

En esto caso la varianza de una muestra no es, en forma estrictamente
matemática; equivalente a la de la población, lo que cambia en la
formulación es el denominador, que en términos simples lo que se hace es
incluir un factor de corrección con la finalidad de que la varianza de una
muestra sea enforma efectiva un buen estimador (no sesgado) de la
varianza de la población, la formulación seria:

∑

̅

Si queremos hallar la varianza en Datos Agrupados emplearemos:
∑

∑(

̅ )

Generalmente nos resulta muy difícil efectuar una interpretación rápida
sobre el significado del valor de la varianza debido a que son valores al
cuadrado. Por esta razón es que se emplea la raíz cuadrada de la
varianza,...