5.1 recta tangente y recta normal a una curva en un punto curvas ortogonales

5.1 Recta Tangente Y Recta Normal A Una Curva En Un Punto. Curvas Ortogonales
5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas
Ortogonales.
Recta tangente y recta normal a unacurva en un punto.
Si una función posee una derivada en el punto , la curva tiene una tangente en el
punto cuya pendiente está dada por
.
Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto ycon una pendiente dada es:
. Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la
recta tangente en un punto de una curva es:
.
Recordando que si la recta tangente eshorizontal. Si la recta tangente es vertical.
Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es
perpendicular a la recta tangente en él.
La condición deperpedicularidad entre dos rectas cuyas pendientes son y es:
, esto es:
.
Si es la pendiente de una recta tangente y es la pendiente de la recta normal, ellas tienen
que cumplir la condición deperpendicularidad, es decir:
. Usando la derivada nos queda:
.
Ejercicio
Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a la parábola en el punto (2, 3)
y dibuje un segmento de estas rectas.Solución
La pendiente de la función en el punto (2, 3) se halla encontrando la derivada y evaluando para
:
Por lo tanto la pendiente de la recta tangente el punto (2, 3) es .
Usando la ecuaciónpunto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:
tangente
normal
2, 3
4 2 2 4
10
5
5
10
15
Asi:
Cuya gráfica correspondiente es:
Para encontrar la recta normal a la curva primero hallamos supendiente:
Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo
tenemos:
La gráfica correspondiente a la curva normal es mostrada en la
figura de la derecha.
Ejemplo de uso desoftware:
y x2 1
punto de
tangencia
y 4 x 5
4 2 2 4
20
15
10
5
5
10
15
Usando el ejemplo anterior graficar la función, la recta tangente, la normal y marcar el punto con
un circulo. A...