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LOS ESPACIOS VECTORIALES R2, R3, Rn

5.1. Vectores y operaciones

Vectores en R2

Un vector o vector fila es una pareja ordenada (x , y) donde x e y son números reales. El conjunto de todos losvectores

 (x,y)  x  R , y  R

se denomina R2.

Sobre un eje de coordenadas se representan por flechas con origen en (0,0) y extremo en (x,y). Para distinguir a los vectores y diferenciarlos delas coordenadas de sus extremos, que se denotan de la misma manera, usaremos la siguiente notación

v = (x,y), denota al vector y V (x,y) , denota el punto extremo

Por comodidad tipográficadenominaremos al vector v , de aquí en adelante por v.
y Y V(x,y)
v X x

En el conjunto R2 , definimos las operaciones suma devectores, resta de vectores, y multiplicación por un número real., así:

Suma: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
Resta: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2),definimos u - v = (u1 - v1, u2 - v2)

Multiplicación por un número real:

Suma: Si v = (v1, v2), y c  R, definimos c v = (c v1, c v2)

Ejemplos

u = (2, 1) y v = (1, 3), u + v = (2+ 1, 1 + 3) = (3,4)
u - v = (2 - 1, 1 - 3) = (1,-2)
v - u = (1 - 2, 3 - 1) = (-1,2)
3u = ( 3×2,3×1) = (6,3)
-u = -1(2,1) = (-2,-1)
(1/3) v = 1/3(1,3) = (1/3,1)

La resta es realmente una suma, ya que por ejemplo,
u – v = u + (- v) = (2, 1) + (-1,-3) = (2-1,1-3) = (1, -2)

Aceptaremos los siguientes principios o propiedades de lasoperaciones así definidas:


u + v = v + u Propiedad conmutativa
u + (v + w) = (u + v) + w Propiedad asociativa
u + 0 = 0 + u = u 0 es el elemento neutro 0 = (0,0).
v + (-v) = 0 y–v + v = 0 Para cada vector v existe un opuesto aditivo -v
c (u + v) = c u + c v Ley distributiva mixta
( + ) v =  v + v,   R,   R Ley distributiva mixta
c ( d u ) = (cd) u. Ley...