6 Trigonometria Esferica

Trigonometr´ıa Esf´erica
con aplicaciones a la Navegaci´on

Gonzalo Galiano Casas

Universidad de Oviedo, 1999

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Indice
1. Introducci´on
2. Conceptos fundamentales de la trigonometr´ıa esf´erica
2.1. Teorema del coseno y teorema de los senos . . . .
2.1.1. Demostraciones v´ıa la geometr´ıa cl´asica . .
2.1.2. Demostraciones v´ıa el a´ lgebra vectorial . .
2.2. Resoluci´on de tri´angulosesf´ericos . . . . . . . . .

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3. El problema de la distancia y del rumbo
3.1. Resoluci´on directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Resoluci´on normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. El problema de la posici´on
4.1. Determinaci´on de la latitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Longitud yTiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Otras cuestiones que relacionan la navegaci´on y las matem´aticas
5.1. Aproximaci´on de la esfera por un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Derrota loxodr´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. Introducci´on
La trigonometr´ıa esf´erica fue desarrollada en la Antigua Grecia por la necesidad de
describir de un modo preciso el movimiento de los astros. Aunque en un primer momento
la motivaci´on fue la determinaci´on del comienzo y del fin de las estaciones anuales, pronto
se utiliz´o tambi´en para calcular posiciones de lugares de la esfera terrestre y para medirdistancias sobre la misma. Posteriormente, y durante siglos, la trigonometr´ıa esf´erica fue
la u´ nica herramienta anal´ıtica a disposici´on del marino como ayuda a la navegaci´on y, de
hecho, muchos de los procedimientos usados en la actualidad fueron desarrollados en la
e´ poca de los descubrimientos y grandes expediciones mar´ıtimas.
En lo que ata˜ne al plan docente de la licenciatura de N´autica yTransporte Mar´ıtimo,
esta parte de la asignatura de Ampliaci´on sirve de base a la asignatura Navegaci´on costera
y astron´omica, que se imparte en el segundo curso de la licenciatura. Las cuestiones principales que se tratan de resolver en la navegaci´on mar´ıtima son las de determinar la posici´on actual del observador y la del lugar al que desea desplazarse, as´ı como la distancia
(m´ınima)entre ellos y la derrota o trayectoria a seguir.
Aunque en la actualidad existen instrumentos electr´onicos que realizan estos c´alculos
con gran precisi´on, la normativa derivada de los convenios de la Organizaci´on Mar´ıtima
Internacional, as´ı como el sentido com´un, imponen que los responsables de los buques
posean un conocimiento adecuado sobre las t´ecnicas de navegaci´on sin ayuda del equipoelectr´onico.
La pr´actica marinera llevada a cabo durante siglos ha impuesto ciertas metodolog´ıas
y protocolos que hoy nos pueden parecer un tanto enrevesados y carentes de sentido pero
que, claramente, han resultado ser muy u´ tiles. En lo que a nuestra asignatura concierne,
observamos que los m´etodos usados en la marina van m´as all´a de la resoluci´on anal´ıtica de
un problema: no essuficiente encontrar una f´ormula cerrada que nos proporcione la soluci´on del problema, hay que computarla. Tambi´en van m´as all´a de su resoluci´on num´erica:
no s´olo hay que computar la soluci´on sino que hay que encontrar el modo m´as sencillo de hacerlo a mano y de comprobar que la aproximaci´on de la soluci´on obtenida sea
suficientemente buena.
Aunque nada hay que objetar a este planteamiento, s´ıqueremos resaltar que lo que
se entiende por calcular a mano es realizar operaciones matem´aticas elementales (sumas
y productos) en las que se operan con n´umeros extra´ıdos de las correspondientes tablas
n´auticas y astron´omicas. El error que se trata de minimizar con estos procedimientos no

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es tanto el error de truncamiento como el propio error humano, y es as´ı como debemos
entender...