Trigonometría Esférica

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería
Ingeniería Técnica en Topografía Escuela Politécnica Superior de Ávila Universidad de Salamanca
Ángel Martín del Rey

Parte Primera: Trigonometría
Tema 2. Trigonometría esférica.
Definiciones básicas. Resolución de triángulos esféricos. Aplicaciones

Ángel Martín del Rey, 2009-2010

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Definiciones básicas (1)
Ángulo diedro: es el conjuntode puntos del espacio limitado por dos semiplanos que se cortan según una recta.
Arista del ángulo diedro

A - BC - D

Caras del ángulo diedro

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Definiciones básicas (2)
Dos planos que se cortan en una recta determinan 4 ángulos diedros, iguales dos a dos.

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Definiciones básicas (3)
Ángulo plano asociado a unángulo diedro: es el ángulo formado por dos rectas perpendiculares a la arista y contenidas en las sendas caras del ángulo diedro.

G EFG F

E

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Definiciones básicas (4)
Ángulo triedro: es cada uno de los ocho conjuntos de puntos determinados por tres planos que se cortan en un punto.

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Definiciones básicas(5)
Aristas del ángulo triedro Z O Y

O - XYZ
Vértice del ángulo triedro Caras del ángulo triedro X

Las caras del ángulo triedro, tomadas dos a dos, forman tres ángulos diedros de aristas OX, OY y OZ.
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Definiciones básicas (6)
Ángulos de las caras del ángulo triedro:
Z O

YOZ ZOX XOY
Y

X

La medida de un ángulo triedro se determina mediante 6ángulos planos: los 3 ángulos de las caras y los tres ángulos diedros correspondientes a tomar las caras del triedro dos a dos
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Definiciones básicas (7)
X – OZ – Y Z

O ZOX

YOZ X – OY – Z XOY Y

Z – OX – Y

X
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Definiciones básicas (8)
Propiedades de un ángulo triedro: La suma de los ángulos de dos carascualesquiera de un ángulo triedro es mayor que el ángulo de la tercera cara. La suma de los ángulos de las caras de un ángulo triedro es menos que 360º

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Definiciones básicas (9)
Circunferencia máxima de una esfera: Dada una esfera de radio R y centro O, llamamos circunferencia máxima a la circunferencia determinada por la intersección de la esfera con cualquierplano que pase por el centro de dicha esfera.
Circunferencias máximas

No son circunferencias máximas
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Definiciones básicas (10)
Ángulo esférico: dos circunferencias máximas se cortan en 2 puntos opuestos de la esfera (vértices) y determinan en cada uno de ellos 4 ángulos esféricos (iguales dos a dos).

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12Definiciones básicas (11)
Medida de un ángulo esférico: viene dada mediante el ángulo diedro formado por los planos que determinan las circunferencias máximas sobre la esfera, o bien mediante el ángulo plano determinado por dicho ángulo diedro.

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Definiciones básicas (12)
Triángulo esférico: es la región de la superficie de una esfera limitada por los arcos detres circunferencias máximas.
Arcos del triángulo esférico

Vértices del triángulo esférico
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Definiciones básicas (13)
Los lados del triángulo esférico, a, b, y c, vienen dados en función de un ángulo: θa, θb , y θc .

a = R ·θ a , b = R ·θb , c = R ·θ c .
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Definiciones básicas (14)
Cuando se unen los vértices deun triángulo esférico con el centro de la esfera se obtiene el ángulo triedro O - ABC

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Definiciones básicas (15)
Propiedades de los triángulos esféricos: La suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado.

θa+θb+θc < 360º
Si dos lados son iguales, los ángulos opuestos son iguales (y viceversa). Si dos lados no son iguales, los ángulos...