6CS 07 3

MATEMÁTICAS A. CS II

Tema VII
Derivadas

@ Angel Prieto Be
nito

Apuntes 2º Bachillerato
C.S.

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FUNCIÓN DERIVADA

Tema 7.3 * 2º BCS
@ Angel Prieto Be
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Apuntes 2º Bachillerato
C.S.

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FUNCIÓN DERIVADA
•

FUNCIÓN DERIVADA

•

Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada
de f es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en
dicho punto.•
•

Esta función se designa por

•
•
•

f (x + h) – f (x)
f `(x) = lím -------------------h0
h

•

La función derivada es una función y por tanto una expresión algebraica

f ’(x) o D f(x)

@ Angel Prieto Be
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•

EJEMPLO 1

•
•

Sea la función y = - x2 + 4x
Hallar la función derivada.

•
•
•

f(x+h) – f(x)
f ’(x) = lím ----------------- =
h0
h

•
•
•
•
•
•
••
•

- (x+h)2 + 4.(x+h) – ( - x2+ 4x)
= lím ---------------------------------------- =
h0
h
- x2 -2hx -h2 + 4x + 4h + x2 - 4x
= lím ---------------------------------------- =
h0
h
- 2hx + 4h - h2
= lím --------------------- = - 2.x + 4
h0 h

•

m=0
m>0

0

f ’(x) = - 2.x + 4

@ Angel Prieto Be
nito

m<0

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•

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN
DERIVADA PARA HALLAR LADERIVADA EN UN PUNTO

•
•

Sea la función y = - x2 + 4x

•

Su función derivada es:
f ’(x) = - 2.x + 4

•

Comprobemos:

•

f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0

•

f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0

•

f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0

•

m<0

m=0
m>0

Efectivamente la función derivada es tal
0
que nos proporciona el valor de la
derivada (pendiente) de la función en
cualquier
punto
@ Angel
Prieto
Be de la misma.
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•

EJEMPLO 2

•
•
•
•

Sea f(x) = x2
Calculemos la función derivada.

•

La función derivada es otra función.

•

Calculemos la derivada de la función en un
punto, en x=2

•

f ‘ (x) = 2.x ,, f ‘ (2) = 2.2 = 4

•

La derivada de la función en un punto es un
cardinal ( un número ).

•

La derivada de una función cuadrática es una
función lineal: y la derivada deuna función
lineal es una función constante.

f ‘ (x) = 2.x , que es otra función.

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f(x) = x2

y=4

f ‘ (x) = 2.x
x=2

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DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS.

•
•
•
•
•

Sea f(x) = k
Aplicando la definición de derivada de una función:
f (x + ▲x) - f(x)
k -k
0
f ‘ (x) = lím
---------------------- = --------- = ------- = 0
▲x 0
▲x
▲x
▲x

•
•
•
••

Sea f(x) = x
Aplicando la definición de derivada de una función:
f (x + ▲x) - f(x)
x + ▲x - x
▲x
f ‘ (x) = lím
---------------------- = ----------------- = ------- = 1
▲x 0
▲x
▲x
▲x

•
•
•
•
•

Sea f(x) = k.x
Aplicando la definición de derivada de una función:
f (x + ▲x) - f(x)
k.x + k▲x - kx
k▲x
f ‘ (x) = lím
---------------------- = ----------------------- = --------- = k
▲x 0
▲x
▲x
▲x

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•

Sea f(x) = x2

•
•
•
•
•

Aplicando la definición de derivada de una función:

•
•
•
•

2.x.▲x + ▲x 2
= lím
---------------------- = 2.x + ▲x = 2.x + 0 = 2.x
▲x 0
▲x

f (x +▲x) - f(x)
(x +▲x) 2 - x 2 x 2 + 2.x.▲x +▲x 2 - x 2
f ‘ (x) = lím --------------------- = ------------------- = -------------------------------- =
▲x 0
▲x
▲x
▲x

• Seaf(x) = x3  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3. x2
•
• Generalizando:
•

f (x) = x n



@ Angel Prieto Be
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f ‘ (x) = n. x n – 1

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ECUACIÓN DE LA RECTA
TANGENTE EN UN PUNTO
•
•

•
•

•
•

Sea la función y = f(x)
Gráficamente, la derivada de la función en
un punto P(xo,yo) de su dominio, es la
pendiente, m, de la recta tangente a la curva
que pasa pordicho punto.
f ´(xo) = m

m<0

m=0
m>0

Conocida la pendiente m y un punto
P(xo,yo) por donde pasa ( el punto de
tangencia con la curva), aplicamos la
ecuación punto-pendiente:
y – yo = m.(x – xo)
Asimismo en aquellos puntos cuya derivada
sea negativa (m<0), la función será
DECRECIENTE. Y si su derivada es
positiva (m>0), la función será CRECIENTE.

@ Angel Prieto Be
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