7Estructuras algebraicas

7. Estructuras algebraicas
Objetivo:
El alumno analizará y manejará las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica.

7.1
Definición de operación binaria.
Dados losconjuntos A, B y C, llamamos operación binaria a cualquier función * cuyo dominio es el producto cartesiano A x A y codominio A, esto es:
*: AxAA
(a1, a2) >a1*a2
Nos centraremos en la suma y elproducto en los enteros, que también son conocidas como operaciones internas.

Propiedades de las operaciones binarias

∀ a,b,c ∈ A
-Cerradura
a * b ∈ A

-Elementos idénticos e inversos
∃ k ∈ A tal quek*a = a
∃ a −1 tal que a −1 * a= k

-Asociatividad
(a*b)*c = a*(b*c)

-Conmutatividad.
a*b = b*a

7.2
Definición de grupo.
Dado un conjunto A y una operación interna *:AxA A que verifica laspropiedades:
∀ a,b,c ∈ A
1. Asociativa:
(a*b)*c = a* (b*c)
2. Existencia del elemento neutro:
∃ k ∈ A tal que k*a = a

3. Existencia del elemento idéntico:
∃ a −1 tal que a −1 * a= k

Se dice que el par(A,*) forma un grupo.
Además, si la operación interna cumple la propiedad conmutativa (a*b = b*a) se dice que el grupo es abeliano.

Propiedades elementales de los grupos.

Grupo abeliano.

Ungrupo A se dice abeliano o conmutativo, si a⋅b = b⋅a para todo a,b ∈ G

Subgrupo.

Sea A un grupo y B ⊆ A. Si H es un grupo con la operación definida
en A, entonces B se dice subgrupo de A. Por lotanto, se verifica que B es subgrupo si:
1. Contiene al elemento neutro: k ∈ G
2. Es cerrado para la operación: si a,b ∈ B, entonces a · b ∈ B
3. Es cerrado para la inversa si a ∈ B, entonces a −1∈ B7.3
Definición de anillo
Dado un conjunto A con dos operaciones internas que denotamos por + y ⋅ , decimos que (A, +, ⋅) es un anillo si verifica:
1. (A, +) es un grupo abeliano.
2. (A, ⋅) es unsemigrupo.
3. Para cualesquiera a, b, c ∈ A se cumplen:
a⋅ (b+c) = (a⋅b) +(a⋅c)
(a+b) ⋅c= (a⋅c) + (b⋅c)



Tipos de anillo.

-Anillo conmutativo: Es aquel en el que el producto es conmutativo, tal que...