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Momento angular de una partícula

Se define momento angular de una partícula
respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento
lineal mv
L=r×mv

Momento angular de un sólido rígido
Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias
centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional alradio de la circunferencia que describen vi = w × ri

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.
El módulo del vector momento angular vale
Li = r imi v i
Su proyección sobre el eje de rotación Z es
Liz = miR2i ω
El momento angular de todas las partículas delsólido es
L=

Li
i

1

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es
miR2i )ω

Lz = (
i

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia
miR2i

I=
i

En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el
vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando
coinciden se diceque el eje de rotación es un eje principal de inercia.
Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos
vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación,L = Iω

El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen,
sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento deinercia es mínimo
cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.
Cuerpo
Momento de Inercia Ic
1
Varilla delgada de longitud L
ML2
12
Disco y cilindro de radio R
Esfera de radio R
Aro de radio R

1
MR2
2
2
MR2
5
MR2

Teorema de Steiner
El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un
sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O,cuando conocemos el
momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.
El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es
miri2

IO =
i

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es
miRi2

IC =
i

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.
2

En la figura, tenemos que
2
ri2 = x2i + yi2 = (xci + d)2 + yci
= Ri2 + 2dxci+ d2
IO = IC + 2d
xci + d2
mi =
i

i

IO = IC + d2M
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del
centro de masa desde el centro de masa.
Ejemplos
Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa
por el punto medio de lamisma.

I=

1
2
ML2 + 2( mr 2 + md2)
12
5

Un péndulo consiste en una varilla de masa M y longitud L, y una lenteja de forma cilíndrica de
masa m y radio r. El péndulo puede oscilar alrededor de un eje perpendicular a la varilla que
pasa por su extremo O

I =(

1
L
1
ML2 + M ( )2) + mr 2 + m(r + L)2
12
2
2

Energía cinética de rotación
Las partículas del sólido describen circunferencias centradasen el eje de rotación con una
velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi = w × Ri . La energía
cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Esta suma se
puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de
rotación
1
1
1
K=
mivi2 =
miω 2R2i = Iω 2
2
2
2
i

i

3

Ecuación de la dinámicade rotación
Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema
formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que
ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce...